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cosθやsinθを何乗もしたものを積分するには
n:奇数の場合。 n=2k+1とおくと ∫(cosθ)^(2k+1)dθ=∫{(cosθ)^2}^k*cosθdθ=∫{1-(sinθ)^2}^k*cosθdθ ここで... n:奇数の場合。 n=2k+1とおくと ∫(cosθ)^(2k+1)dθ=∫{(cosθ)^2}^k*cosθdθ=∫{1-(sinθ)^2}^k*cosθdθ ここでt=sinθとおくと、dt/dθ=cosθであるから 与式=∫(1-t^2)^kdt となります。以下略 n:偶数の場合。あなたのやり方が一番よいでしょう。展開の際、奇数乗のものが出てきたら上の方法で計算する。 高校数学を逸脱すれば、 cosθ={e^(iθ)+e^(-iθ)}/2 を使って変形する方法があります。 この式を使うと (cosθ)^6=(1/32)*cos6θ+(3/16)cos4θ+(15/32)cos2θ+5/16 程度の式は2分とかからず導出できるのでそれから積分を行えばよい。 sinθについてはt=π/2-θとでも変数変換すればcosの式になります。