統計検定1級 2018 統計数理 問1 解説 - 僕の頭の備考欄

統計検定1級 2018 数理 大問1 互いに独立に正規分布に従う個の確率変数に対して, 標本平均を, 標本分散と標本標準偏差をそれぞれ, とするとき, 以下の各問に答えよ. (1) は母分散の不偏推定量であること, すなわちを示せ. 解 \begin{align} \sum _{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 &= \sum _{i=1}^{n} (X_i - \bar{X} + \bar{X} - \mu) ^2 \\ &= \sum _{i=1}^{n} \left( (X_i - \bar{X})^2 +2(X_i - \bar{X})(\bar{X} - \mu) + (\bar{X} - \mu)^2 \right ) \\ &= \sum _{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 + \sum _{i=1}^{n} 2(X_i - \bar{X})