eが無理数であることの5通りの証明 - INTEGERS

の定義については高校の数学の教科書等を参照してください。 しかしながら、 という表示も大切です。 第一証明 正整数を用いてと書けたと仮定する。このとき、 とすれば、仮定よりなので、 となってが従う。これはに矛盾。 Q.E.D. 追記) とした後に、と合わせることによって、がいえて即矛盾する。 第二証明 第一証明におけるはTaylorの定理*1を用いることによって、あるが存在して と書ける。よって、 からが従う。 Q.E.D. 第三証明 非負整数に対して とおく。に対して より、 がわかる。また、部分積分により が成り立つ。これとから整数が存在して と表示されることが帰納的にわかる。(2)の両辺をで割ることによって、(1)より なるが存在する。さて、なる整数が存在したと仮定すると、(3)、(4)より が成り立つ。は整数なので、を十分大きくとると矛盾が生じる。 Q.E.D. 第四証明 補題 を