2行2列の行列のn乗 - プログラムモグモグ

行列のn乗を求める問題というのは, 大学入試で頻出問題です. 大学に入った後も, n乗を求めたくなる場面がちょくちょくあり, そのたびに面倒くさいなあと思ってしまいます. 例えば連立漸化式を立てて求めたい時に, n乗をちゃちゃっと求めたくなるんですよ. ここでは2行2列の行列に限った上で, 一般的なn乗の式を紹介し, それを導出してみましょう. 定理 2行2列の行列に対して, そのn乗は次の式で与えられる. 但し, , は固有値である. 導出 固有ベクトルをそれぞれ, とする. n乗して 固有ベクトルを成分で表すと である. よって である. 横に並べると 逆行列を右から掛けて 一般式を得ることができた. さて, 固有値が重解である場合は, となる. このことと二項定理より となる. 極限 固有値が異なる場合の公式を, 固有値を他方に近づけると, 固有値が一致する場合の解を得ることができま