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二元一次不定方程式と鳩ノ巣原理 - Qiita
はじめに てきとーに書いてみました 鳩ノ巣原理とは $n<m\ \ (n,m\in\mathbb{N})$とするとき,$n$個の巣... はじめに てきとーに書いてみました 鳩ノ巣原理とは $n<m\ \ (n,m\in\mathbb{N})$とするとき,$n$個の巣に$m$羽の鳩が入る時,必ず2匹以上入っている巣が存在する. という主張である. 考えてみれば当たり前のことですが,とても面白いものです. 二元一次不定方程式について ax+by=cが整数解を持つ条件 $x,y$に関する二元一次不定方程式 $ax+by=c$ が整数解を持つ$\iff c$ は $\mathrm{gcd}(a,b)$ の倍数 これを示す.補題として $ax+by=1$が整数解を持つ$\iff a $と $b$ は互いに素 これをまず示す. (証明) ($\implies$)対偶をとると,$(a と b は互いに素)\lnot \implies(ax+by=1が整数解を持つ)\lnot$ ここで$a,b$の公約数を$d\geq2$とするとき$ax+