Tonelli-Shanks アルゴリズムの理解と実装(1) - Qiita

はじめに 奇素数$p$と$0$でない整数$n$が与えられた際に $$ x^2 \equiv n\ {\rm mod}\ p$$ なる$x\not \equiv 0$が存在するならば、$n$は$p$を法として平方剰余(Quadratic Residue)であると言い、そのような$x$が存在しないならば$n$は平方非剰余(Quadratic Nonresidue)であると言います。 例えば、$n=2$は$p=7$を法として平方剰余($x=3$などが解)ですが、$n=3$は平方非剰余です。 さて、平方剰余かどうかの判定はそれほど難しくありません。 まずは、Legendre(ルジャンドル)記号を以下で定義します。 $$\left(\begin{array} nn\\ p \end{array}\right) := n^{\frac{p-1}{2}}$$ この時、以下が成立します(証明は少し難しいの