奇数のオイラー数!?

先日子供が立方体や多面体など幾何の宿題をしているのを見て、 ときどきやってしまうことなのだがチャチャを入れた。 「知ってる？ 立方体だろうがサッカーボールだろうが、 どんな多面体でも頂点－辺＋面の数は２になるんだよ」 と言ったら存外興味を示して来たので、 その証明をしてやった。 これは後の話と関係があるので、 ちょっと説明しよう。 サッカーボールは五角形と六角形の組み合わせだが、 一般にある多面体のある辺の両側が４以上の角形だとして、 その両端の頂点を近づけて行って一致させたとしよう(次図参照)。 この変形で辺の数を減らせるが、 このとき頂点も一つ減り面の数は変わらないので、 頂点－辺＋面の数（これをオイラー数と呼ぶ）は変わらない。 では片側が三角形のときはどうなるか(次図参照)。 両側でもよいが。 三角形が一つつぶれるので、頂点は一つ、辺は二つ、面が一つ減る。 またしてもオイラー数は不変

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このオイラー数はどう役にたつのか・・・物体に穴がいくつ空いてるかを逆算したい時に使うのかな？