無限公理 - Wikipedia
無限公理（むげんこうり、英: axiom of infinity）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、「無限集合の存在」を主張するものである。エルンスト・ツェルメロによって1908年に初めて提示された。 上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。 まず定義中の集合 は以下の性質を満たすことを確認できる。 （空集合 は の要素である） （「空集合 を要素にもつ集合」は の要素である） （「空集合」と「空集合を要素にもつ集合」の2つを要素にもつ集合は の要素である） （以下同様に繰り返す） 各手続きで得られた集合を要素とする集合を とおくと、 は の部分集合である。 この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 は有限集合であり、である。なぜならば定義により である
プログラミングと法律の相違点 _ 演算子(1) ORなのかXORなのか｜ぴよふ
プログラマが気を付けることの1つは条件式に記述するときの演算子ですよね。&& じゃなくて || って書いてしまった。とか <= にすべきところを < だけにしちゃったとか。 法律の条文にも私がぶち当たった演算子があります。それが"または"です。 "または" って本当にORですか？何言ってんだ？当たり前やろ！と思うかもしれません。 結論から言うと法律の"または"(又は) はあなたが想像する"OR"じゃないんです… 私は最初のころよくわかっていませんでした。先生に聞いても質問の意図が分かってもらえなかったし、Google先生に聞くとそのものズバリな回答もあったのですが、なんだかモヤモヤした結論でした。 法律の条文で"または"が出てきたらそれはXORです。もうこれが今回の記事のすべてなんでここで終わってもいいんですがちょっと説明します。 ORは一般的に論理和と呼ばれ、XORは排他的論理和と呼ばれ
)
Inversion (music) - Wikipedia
Audio playback is not supported in your browser. You can download the audio file. An example of melodic inversion from the fugue in D minor from J. S. Bach's The Well-Tempered Clavier, Book 1.[1] Though they start on different pitches (A and E), the second highlighted melody is the upside-down version of the first highlighted melody. That is, when the first goes up, the second goes down the same n
)
束 (束論) - Wikipedia
この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "束" 束論 – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2022年3月) 数学における束（そく、英語: lattice）は、任意の二元集合が一意的な上限（最小上界、二元の結びとも呼ばれる）および下限（最大下界、二元の交わりとも呼ばれる）を持つ半順序集合である。それと同時に、ある種の公理的恒等式を満足する代数的構造としても定義できる。二つの定義が同値であることにより、束論は順序集合と普遍代数学の双方の領域に属することとなる。さらに、半束 (semilattice) の概念は束の概念を含み、さらにハイティング代数やブール代数の概念も含む
Set-builder notation - Wikipedia
The set of all even integers, expressed in set-builder notation. In set theory and its applications to logic, mathematics, and computer science, set-builder notation is a mathematical notation for describing a set by enumerating its elements, or stating the properties that its members must satisfy.[1] Defining sets by properties is also known as set comprehension, set abstraction or as defining a
順序組 - Wikipedia
数学における順序組（じゅんじょぐみ、英: ordered tuplet, ordered list etc.）あるいは単に組 (tuple, tuplet etc.) とは、通常は有限な長さの列を言う。特に非負整数 n に対して、n 個の対象を順番に並べた（あるいは番号付けた）ものは n-組 (n-tuple) と呼ぶ（このとき、並べられた対象のことは、この n-組の「要素」や「成分」などと呼ぶ）。 0-組はただ一つ存在して「何も並べないこと」を意味するが、文脈によりそれは空集合や、空列や、空リストなどと呼ばれる。 1-組（あるいは一つ組）は定義により、ただ一つの元からなる集合、ただ一つの項からなる列、ただ一つの点からなる空間などであって、それはそのそれぞれのただ一つの要素であるところの元、項、点などとは厳密には異なるが、にも拘らず多くの場合においてその唯一の要素と同一視して、あるいはそれ
篩法 - Wikipedia
篩法（ふるいほう）、または単に篩（ふるい）とは、数論でよく使う技法の総称である。 整数をふるった集合 (sifted set) の元の個数を数えたり、その大きさを評価したりする。篩の操作によって得られる集合の例として、ある数を超えない素数の集合が挙げられる。つまりいにしえのエラトステネスの篩、あるいは一般にルジャンドルの篩と呼ばれるものである。しかしこれらの篩を直接用いた素数分布の定量的研究は、誤差項の累積というどうしようもない困難に直面した。20世紀に入り、双子素数予想やゴールドバッハ予想などの研究の中でこれらの困境を克服する方法が見いだされ、現在ではブルンの篩をはじめ、セルバーグの篩、大きな篩といったものが編み出されている。 これらの原始的なエラトステネスの篩の発展形においては、ふるわれた（評価されるべき）集合を、他の解析しやすいより単純な集合によって近似することや、sieving f
偶奇性 - Wikipedia
クイゼネールロッド（英語版）を用いた自然数の偶奇性の視覚的表現; 奇(odd)である5（黄色）は同じ長さ（同色）の2つの棒で均等に分割する事が出来ないが、 偶(even)である6（深緑色）は2本の3（若草色）にて均等に分割出来る。 数学における偶奇性（ぐうきせい、英: parity; パリティ）とは、ある対象を偶（ぐう、英: even）と奇（き、英: odd）の二属性のいずれか一方に排することである。 しばしば、ふたつ（以上）の対象に対して、それらの偶奇性が一致しないことを以って、それらが相異なるということの理由付けとするというような議論に用いられる場合がある。 同様の性質を示す概念に「正負」があるが、正負には（しばしば特異なものを表す）零（0）をあわせた三属性とする場合もある。 偶数と奇数[編集] 定義[編集] 偶奇性の定義される最も基本的な対象は整数であり、2で割り切れるものを偶数、2
部分集合 - Wikipedia
A が B の部分集合であることを A ⊆ B で表し、A が B の真部分集合であることを A ⊂ B で表した。大小関係の不等式において不等号を x ≤ y かつ x ≠ y のとき x < y と書く とする記法に合わせて、包含関係においても A ⊆ B かつ A ≠ B のとき A ⊂ B と書く とする記法は自然である。しかし、これとは異なる流儀もいくつか存在し、統一されていない。例えば、A が B の部分集合であることを A ⊂ B で表し、A が B の真部分集合であることを A ⊊ B で表すという流儀がある。他にも、部分集合には ⊆ を用い、真部分集合には ⊂ かつ ≠ を用いることもある。真部分集合であることを明示できる ⊊ という記号を用意する時もある。真部分集合であることに言及する箇所が少なく煩雑にならなければ、混乱をさけるために逐一 A ⊆ B かつ A ≠ B
基数 - Wikipedia
この項目では、集合論における基数 (cardinal)について説明しています。その他の用法については「基数 (曖昧さ回避)」をご覧ください。 この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "基数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2015年2月) アレフ・ゼロ、最小の無限基数 数学において基数（きすう、cardinal number または cardinal）とは、集合の濃度（cardinality、大きさ、サイズ）を測るために定義された自然数の一般化である。有限集合の濃度つまり有限集合の要素の個数は自然数で表される。無限集合の濃度が一つではないことはゲオルク・カント
)
濃度 (数学) - Wikipedia
数学、特に集合論において、濃度（のうど、英: cardinality カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである[1]。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された[2][3]。 集合 X と Y の間に全単射が存在するとき X ≈ Y と書き、X と Y は濃度が等しいという。 集合 X から集合 Y のへの単射が存在するとき X ≾ Y と書き、X の濃度は Y の濃度以下であるという。 集合 X と Y について、X ≾ Y だが X ≈ Y でないとき、X ≺ Y と書き、X の濃度は Y の濃度より小さいという。 シュレーダー=ベルンシュタインの定理により、X ≾ Y かつ Y ≾ X なら、X ≈ Y が成り立つ。さら
順序集合 - Wikipedia
この記事には複数の問題があります。改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典は脚注などを用いて記述と関連付けてください。（2019年6月） 独自研究が含まれているおそれがあります。（2019年6月） 順序集合（じゅんじょしゅうごう、英: ordered set）は集合の要素の間に順序が定義された集合。順序とは二項関係であって後述する反射律・推移律などを満たすものであり、数の大小関係などを一般化したものである。 全ての2要素が比較可能（順序が定義されている）ものを特に全順序集合（totally ordered set; toset）という。例えば実数における大小関係は全順序集合である。 また、全順序ではない順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を定めたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序と見なしたものがある。 後述するように、順序が満たす
順序数 - Wikipedia
この項目では、数学的な観点からの順序数について説明しています。言語学的な観点での順序数については「序数詞」をご覧ください。 数学の特に集合論において、順序数（じゅんじょすう、英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。 定義[編集] 整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする写像 GA, < を超限帰納法によって と定義したとき、GA, < の値域 ran(GA, <) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。 例[編集] <ω は自然数の通常の大小関係（を各集合に制限したもの）を表すものとすると、 この例から推測されるように、一般に有限の整列集合 (A, <) に対して ord(A, <) は A の要素の個数に等しい
部分写像 - Wikipedia
単射な部分写像の例 単射でない全域写像の例 数学において部分写像（ぶぶんしゃぞう、英: partial mapping）あるいは部分函数（英: partial function）は適当な部分集合上で定義された写像である。即ち、集合 X から Y への部分写像 f は X の任意の元に Y の元を割り当てることが求められる写像 f: X → Y の概念を一般化して、X の適当な部分集合 X' の元に対してのみそれを要求する。X′ = X となる場合には f は全域写像 (total function) と呼ばれ、これは写像と同じ概念を意味する。部分写像を考えるときには、その定義域 X' がはっきりとは分かっていないという場合もよくある。 部分写像 f に対し f(x) が定義される値 x 全体の成す集合（上記の X'）を f の定義域と呼び、D(f) や Def(f) のように表すのが典型的
存在記号 - Wikipedia
存在記号（そんざいきごう、existential quantifier）とは、数理論理学（特に述語論理）において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常「∃」と表記され、存在量化子（そんざいりょうかし）、存在限量子（そんざいげんりょうし）、存在限定子（そんざいげんていし）などとも呼ばれる。この記号（∃）は1897年にジュゼッペ・ペアノによって導入された[1][2]。 これとは対照的に全称記号は、全てのメンバーについての量化である。 例として、「ある自然数の平方が25である」を表す式を考える。最も素朴な方法として、次のように式を書いていく: 0·0 = 25, または 1·1 = 25, または 2·2 = 25, または 3·3 = 25, などなど これは 「または」を繰り返しているので、一種の論理和となっている。しかし、「などなど」があるため形式論
全称記号 - Wikipedia
「∀」はこの項目へ転送されています。略称が「∀」の作品については「∀ガンダム」を、その作品に登場するモビルスーツについては「∀ガンダム (架空の兵器)」をご覧ください。 全称記号（ぜんしょうきごう、universal quantifier）とは、数理論理学において「全ての」（全称量化）を表す記号である。通常「∀」と表記され、全称量化子（ぜんしょうりょうかし）、全称限量子（ぜんしょうげんりょうし）、全称限定子（ぜんしょうげんていし）、普遍量化子（ふへんりょうかし）、普通限定子（ふつうげんていし）[1]などとも呼ばれる。 「P(x)」という開論理式（英語版）が与えられたとき、これが意味するところは「……はPである」ということだけで、これだけでは真偽が確定しない。そこで、「P(x)」に現れている自由変項「x」を量化子によって束縛することにより、新たに閉論理式（英語版）が得られる。このような閉論理
因果集合 - Wikipedia
因果集合 (causal sets) プログラムは量子重力へのアプローチの一つである。これは、時空は本質的に離散的であり時空の事象はすべて半順序によって関連しているという仮定に基づいている。この半順序は時空の事象間の因果関係という物理的意味を持っている。 概要[編集] このプログラムはen:David Malamentによる定理[1]に基づいている。この定理は、もしそれらの因果構造を保存する二つの過去と未来が区別可能な時空の間の全単射写像があるならば、その写像は等角同型であることを述べている。未定の共形因子は時空における体積と関係する。この体積因子は時空の各点の体積要素を規定することにより、正しい値を推定することができる。そのとき、時空領域の体積はその領域内の点の数を数えることにより見出すことができるであろう。 因果集合はen:Rafael Sorkinによって創始された。彼はこのプログラ
リリース、障害情報などのサービスのお知らせ
最新の人気エントリーの配信
j次のブックマーク
k前のブックマーク
lあとで読む
eコメント一覧を開く
oページを開く
Formula for consecutive, even, odd integers - The Beat The GMAT Forum - Expert GMAT Help & MBA Admissions Advice
空集合 - Wikipedia
Sum-free sequence - Wikipedia