Haskellと余代数(Coalgebra) - 朝日ネット 技術者ブログ
ここではHaskellの中級者向けのトピックを簡単に取り上げたいと思います。 今回は余代数(Coalgebra)についてです。Haskellを書いていると『余（なんとか）』という言葉をみかけることがあります。これは英語の接頭辞 Co- の訳で、ここでは代数(Algebra)の双対(Dual)という意味で余代数と呼ばれています。 さてHaskellやOCamlのデータ型は一般に代数的データ型(Algebraic data type)と呼ばれます。このデータ型にパターンマッチングを加えて、（オブジェクト指向言語などと比較したときの）関数型言語の特徴と紹介されることも多いと思います。実はこのデータ型にはもともと余データ(Codata)と呼ばれるような相方がいたのですが、人類が扱うには早すぎたのか、データ型に比べると余データは長らく影の存在でありました（ちなみに余データは口語上はコデータと呼ぶかも
アプリカティブ関手ってなに？モノイド圏との関係は？調べてみました！ | 雑記帳
この記事は Category Theory Advent Calendar 2018 7日目 かつ Haskell (その2) Advent Calendar 2018 7日目の記事です。 Category Theory Advent Calendar 2018の6日目はcorollary2525さんの「随伴は あらゆるところに 現れる」、8日目は空席、9日目はt_uemura669101さんの「トポスと高階論理」です。 Haskell (その2) Advent Calendar 2018の6日目は空席、8日目はtakoeight0821さんの「Type defaultingについての初級的な解説」です。 この記事はどういう記事か 圏論の方から来た人向け： デカルト積やテンソル積の一般化である「モノイド積」の話と、「内部ホム」の話をします。文献によっては内部ホムはモノイド積の右随伴として導
圏論の随伴をちゃんと抑えよう： お絵描き完全解説 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
[追記 date="後日"]日本語の表記として「抑える」より「押さえる」が正しい気がしてきたけど、このままにします。使い分けがさほど明確なわけじゃないし、「抑える」に「支配下に置く」ような雰囲気もあるので。[/追記] 「圏論の随伴をちゃんと抑えよう」のなかで、絵を使った計算について言及しています。 単位／余単位とニョロニョロ関係式を絵（ストリング図）で描けば次のようです。 これらの公式は、絵（ストリング図）を使うと自然に解釈できますが、その話は次の機会にします。 絵（ストリング図）で計算すれば楽です。絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）の話はいずれまとめてする予定です（今日はしない）。 絵が描けるので、随伴系の計算は絵算（pictorial/graphical/diagrammatic calculation）に持ち込めます。 ニ
Contravariant なんて要らんかったんや! - Qiita
-- 標準の Data.Functor.Functor では反変関手を包括できないので Contravariant とい -- う別の種類の関手が定義されてる。でも本当はそんな余分な定義は要らないんだ。 -- 全部 Functor に一元化できる。そう、Control.Category ならね。 {-# LANGUAGE MultiParamTypeClasses, TypeOperators, TypeSynonymInstances, InstanceSigs, FlexibleInstances, ScopedTypeVariables, TypeFamilies, FlexibleContexts #-} import Control.Category import Prelude hiding ((.), id, Functor(..)) import Control.Arrow
モナドモナド (LT没ネタ) - Qiita
数学カフェのLTで話す予定でしたが、使う機会がなくなったので公開します。 Haskellにおけるモナドとは HaskellではMonadという型クラスでモナドを表現しています。この型クラスは return :: a -> m a 、 join :: m (m a) -> m a 、そして fmap においてモナドが表現されています。色んな人が色んな場で説明していることですから、今さらここで議論を掘り返す必要はないでしょう。 モナドには []、Maybe、State s、Cont r、Reader r、Writer w、IO、などがあります。しかし、みなさんはそれで満足でしょうか？ そんなモナドで大丈夫ですか？ Haskellでもっとモナド モナドをさらにこじらせた人は、 Free モナドや Codensity モナドなどに手を出すでしょう。これらは大変便利なものですが、その珍しさ故これまた
Index of /course/80-413-713/notes
Index of /course/80-413-713/notes NameLast modifiedSizeDescription Parent Directory - CT2errata2010.pdf 2015-04-02 09:57 35K cats.pdf 2015-04-02 09:57 85K chap01.pdf 2015-04-02 09:57 190K chap02.pdf 2015-04-02 09:57 185K chap03.pdf 2015-04-02 09:57 179K chap04.pdf 2015-04-02 09:57 140K chap05.pdf 2015-04-02 09:57 201K chap06.pdf 2015-04-02 09:57 208K chap07.pdf 2015-04-02 09:57 242K chap08.pdf 2
Representable functors in Haskell
Representable functors A functor1 \(F : C \to Set\) is called representable if it is isomorphic to \(Hom(A, -)\) for some \(A\) (denoted as \(F \simeq Hom(A,-)\)). Since we are talking about Haskell, I’ll also use the \((a \to -)\) notation instead of \(Hom(a, -)\). The object \(A\) is called representing object for a functor \(F\). Usually, the isomorphism between the functor is given by two natu
圏論に最短で入門する - 俺の Colimit を越えてゆけ
はじめに 対象読者 数学以前 数学の基礎 ホモロジー代数 圏論 もっと手取り早く圏論の勉強を始めたい人へ おわりに 紹介した書籍 はじめに 私が圏論という分野を知るきっかけは、おそらくこの文章を読んでいるほとんどの人と同様に Haskell の勉強をしたことがきっかけでした。 Haskell のモナドなどを利用する上では圏論を理解する必要は全くないのですが、型システムや処理系に関して詳しく知りたくて論文を読むと圏論の言葉が普通に使われていて、理解できずに断念していました。 そこで、当時数人が集まってやっていた圏論勉強会に参加して圏論の勉強を始めました。当時読んでいた書籍は Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories でした。この本は圏論の初学者向けに書かれた本で、数学的な知識をほとんど仮定せずに理解できるように書かれ
String diagram のすすめ - PS
こちらは Haskell Advent Calendar 2015 - Qiita の 20 日目の記事です。 前の日･･･Hakyllでブログを作る(実践編) - Wake up! Good night* 次の日･･･「第2期 H本読書会 in 秋葉原」を終えて #readhbon #haskell - セカイノカタチ String diagram String diagram というのは 圏論の bicategory というのを、平面上の点と線を使って描くものなんですが、特にややこしい知識が無くても使える(使っている)、と思ったので記事にしました。 以下、圏論の知識は必要ありません。 垂直方向について 型を縦線で表現し、関数は縦線上のノードで表現します: 諸般の事情で四角になってますが、ノートに書くときは丸でも何でもかまいません。 定義域aが下になっていることに注意。 関数id = \
Categories for the Working Mathematician
Categories for the Working Mathematician provides an array of general ideas useful in a wide variety of fields. Starting from the foundations, this book illuminates the concepts of category, functor, natural transformation, and duality. The book then turns to adjoint functors, which provide a description of universal constructions, an analysis of the representations of functors by sets of morphism
From Lenses to Yoneda Embedding
From Lenses to Yoneda Embedding Posted by Bartosz Milewski under Category Theory, Functional Programming, Haskell, Lens, Programming [6] Comments Lenses are a fascinating subject. Edward Kmett’s lens library is an indispensable tool in every Haskell programmer’s toolbox. I set out to write this blog post with the goal of describing some new insights into their categorical interpretation, but then
圏論プログラミング言語CPL入門 - うさぎ小屋
面白かったので入門記事を書きました。haskellの知識を仮定しますが圏論の知識は一切要求しません。 言語概要 圏論に基づく データは射として表す 関数は射あるいは羃対象として表す Turing完全でない 計算は必ず停止する 作者は日本人 環境導入 haskellによる実装が存在するのでこれを用います。cabalを用いて以下ですべて済みます。 1 $ cabal install CPL 起動するにはcplと叩きます。 1 2 3 4 5 6 7 $ cpl Categorical Programming Language (Haskell version) version 0.0.7 Type help for help cpl> 引数にファイルを与えるとそれを実行します。中身を標準入力から流しこんだかのようなかの挙動をします。読み込んだ後replに入るオプション-iもあります。 1 $
Category Theory (Oxford Logic Guides)
OXFORD LOGIC GUIDES Series Editors A.J. MACINTYRE D.S. SCOTT Emeritus Editors D.M. Gabbay John Shepherdson OXFORD LOGIC GUIDES For a full list of titles please visit http://www.oup.co.uk/academic/science/maths/series/OLG/ 21. C. McLarty: Elementary categories, elementary toposes 22. R.M. Smullyan: Recursion theory for metamathematics 23. Peter Clote and Jan Kraj´ıcek: Arithmetic, proof theory, an
Lensで行こう！(2):Isoへの拡張 - Just $ A sandbox
このエントリーはLensで行こう！ - みょんさんの。の続編にあたります。 前回の復習 前回、Lens型について詳しく見ました。 Lens型は以下のような型のデータです。 type Lens s t a b = forall f. Functor f => (a -> f b) -> s -> f t これはFuctorを上手く定めてやれば(ConstとIdentityでしたね！)getter,setterとして振る舞うことのできる素敵な型でした。 さて、この型がどれだけの力を持っているかを実感した方は、きっと「こんなややこしそうに見える型がどこから降ってきたのか？」という疑問が湧いてくると思います。 今回はこのことについて見ていくことにします。 Iso型とは？ ではLensについて考えるのに、やはりHackageを参照しましょう→The lens package このページ真ん中に、大き
Arrows: A General Interface to Computation
Arrows are a new abstract view of computation, defined by John Hughes [Hug00]. They serve much the same purpose as monads -- providing a common structure for libraries -- but are more general. In particular they allow notions of computation that may be partially static (independent of the input) or may take multiple inputs. If your application works fine with monads, you might as well stick with t
Natural Transformations in Haskell - Quickstart - Open wiki - Gitorious
Examples and answers for the "Natural Transformations in Haskell" workshop first given at Compose Conference. Prerequisites GHC 7.8.* or later cabal 1.18 or later your Haskell editor bzr or git the below project built with cabal build; basic instructions below Check out the project You can choose either bzr or git to get the project on your machine. bzr bzr branch lp:nt-in-haskell git git clone h
CPL
CPL: An interpreter of Hagino's Categorical Programming Language (CPL). CPL is a functional programming language based on category theory. Data types are declared in a categorical manner by adjunctions. Data types that can be handled include the terminal object, the initial object, the binary product functor, the binary coproduct functor, the exponential functor, the natural number object, the fun
Introduction to Categorical Programming (Revised)
Masahiro Sakai's presentation at HAMA.jp <http: />. (revised version)Read less
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