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エントロピーの最大化による正規分布の導出
導出の方針変分法を用いて、汎関数 \(H[p]\) としてあらわしたエントロピーを最大化する確率密度関数 \(... 導出の方針変分法を用いて、汎関数 \(H[p]\) としてあらわしたエントロピーを最大化する確率密度関数 \(p(x)\) を求めます。 その際、以下の制限がかかることに注意します。 規格化条件(確率は全領域で積分すると1になる)\(p(x)\) は確率密度関数(=積分により確率を表現する関数)であるため、規格化条件 $$\int_{-\infty}^{\infty}p(x)dx=1 \tag{2}$$ をみたします。 つまり、 \(p(x)\) を \((-\infty, \infty)\) の範囲で積分すると1になります。 平均と分散の定義式また、 \(p(x)\) が平均 \(\mu\) 、分散 \(\sigma^2\) を持つとすると、それぞれの定義より $$\int_{-\infty}^{\infty}p(x)(x-\mu)dx=0 \tag{3}$$$$\int_{-\inft