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『合同式その3~フェルマーの小定理』
合同式の締めくくりとして,フェルマーの小定理について紹介します. まずは入試問題から.日本女子大・... 合同式の締めくくりとして,フェルマーの小定理について紹介します. まずは入試問題から.日本女子大・理学部の問題です. 問題 nが2以上の自然数であるとき, n~7-nが7で割り切れることを,数学的帰納法を用いて証明せよ. 「数学的帰納法を用いて」,とあるのが親切ですね. それに基づいて証明すると,こうなるのでしょうか. 解答 n=2のとき, 2~7-2=128-2=126=7×18 より 7で割り切れる n=kのとき,k~7-kが7で割り切れると仮定すると, (k+1)~7-(k+1) =k~7+7C1K~6+7C2K~5+7C3K~4+7C4K~3+7C5K~2+7C6k+1-(k+1) となります.ところで,7C1=7C6=7,7C2=7C5=21,7C3=7C4=35 (Cはコンビネーションです.見づらくてごめんなさい) よって, (k+1)~7-(k+1) =k~7-k+7(K~6