奇跡の楕円曲線と144 - フィボナッチ・フリーク

私が最も好きな不定方程式の一つに、次のものがあります。 いわゆる楕円曲線の一種です。この方程式の整数解は全部でいくつあるでしょうか？ まず方程式の形からがわかります。順に試していけばすぐにという解が見つかります。ここから先はなかなか解が現れず、これで全てであるかのように思われます。 しかしこの方程式はそんなつまらないものではありません。実はこんな解もあるのです。 大きい解ですね。実際計算してみると となり、確かに解になっています。一般にこのような大きな解がある不定方程式は手計算では解くことが難しいです。しかしこの方程式に限っては、実に鮮やかな方法でこの解を求めることができます。まさに奇跡の楕円曲線というわけです。 以下の方法は私が今年たまたま見つけたものですが（恐らくもっと昔から知られているとは思いますが）、発見した日の晩は興奮して眠れませんでした。 さて、準備としてPell方程式について