分散の定義が絶対値を使わず二乗を使う理由（？） - 結城浩のはてなブログ

1. 確率変数Xの分散V(X)は、Xの期待値をE(X)とすると、V(X) = E( (X - E(X) )^2)で定義される。 2. 言い換えれば、分散とは「「期待値からのずれ」の二乗」の期待値である。 3. 分散は、確率変数の値がどれだけ期待値からずれるかを表すもの（として定義したい）。 4. 期待値からのずれは大きくずれる場合と小さくずれる場合の二つがある。 5. 二乗しておけばどっちに転んでも大丈夫。 6. でも、絶対値を取ることにしてもいいよね。 7. いいけど、絶対値とる計算よりも二乗するほうが計算便利だし。 …と、ここまではいいと思うんですが、以下のA,Bも二乗する定義を採用する理由になるでしょうか？ A. 分散に対して、等式 V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 が成り立つ。 《分散は、平方の期待値から期待値の平方を引いた値になる》 B. 確率変数Xが期待値からず

[hyuki]

識者のご意見を。

[qnighy]

直接これに関係した話じゃないけど、Σ(x[i]-a)^2を最小化するaが平均値という嬉しい性質があって、Σabs(x[i]-a)を最小化するaは中央値なんだよね。だからこの組合せで使うのが嬉しそう(識者でない人の意見)

[natsutan]

ガウスが天文の測量に使ったのが始まり。真値からのずれの二乗和は、必ず下に凸の2時曲線になり、必ず傾きが0の点で最小値になる。一次式やそれ以上では、傾きが0が最小値とは限らない。 その後 id:what_a_dude に続く。

[kamenoseiji]

分散の加法則：確率変数XとYが独立な場合、V(X+Y)=V(X)+V(Y) が成り立つように、ではないでしょうか？[追記]確率統計編「数学ガール」が出ると嬉しいです。「どうして二乗を使うんですか!?」なんてテトラちゃんの台詞を期待

[counterfactual]

分散というのは、期待値まわりの2次のモーメントだから二乗するのです。また、正規分布では、分散は母数の片割れであり、(N-1)で割る標本分散はその不偏推定量になります。

[tokuryoo]

もやもやする。

[nakag0711]

これ数学やってる人に聞いても計算が楽だとかそんな答えしか返ってこないんだよなあ。

[antimon2_math]

主に追記を読むためにぶくま。

[mac_wac]

そういえば高校の時、「何で最小二乗法は絶対値の和の最小じゃいかんのや」と思ってたなあ。そういえば、分散を考えると、多変数の処理の際に自然に共分散に拡張できるね。

[ROYGB]

絶対値を使った平均偏差という定義もあるけど、標準偏差に比べてほとんど使われていないみたい。そういえばｄＢのような対数の測定値の平均はいったん逆対数変換してから計算して戻すんだっけか。

[REV]

なにかしら利点があるのだろうと思っているが、それが何なのかはわからない

[arakik10]

「二乗」で定義したらいろいろと面白い性質が導けるんだけど、それが定義の理由・根拠と考えていいのかしら？という話…でいいのかな？素人目には可微分性や特性関数のような広い背景・分脈を持っているせいかと