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三個の平方数の和 - Wikipedia
この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知ら... この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られている[1]ものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。 自然数が三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、により、と表されることである。逆に、で表される自然数は三個の平方数の和で表されない。これはディオファントスの時代から研究されてきた[1]ことであるが、1798年、ルジャンドルによって証明された。 証明[編集] 十分条件の証明は初等的に行うことは可能であるが、二次形式に関する議論を必要とし、複雑である[2]。必要条件の証明は次に記すとおり、容易である。 必要条件[編集] が三個の平方数の和で表されないことは、から明らかである。仮りに と表されるとすれば、は全て偶数であるから となり、数学的帰納法に