拡散方程式の解と粒子数の時間変化 - StatModeling Memorandum

拡散現象は幅広く観測されます。この記事では拡散方程式の解と粒子数の時間変化のグラフを備忘録として残します。 拡散方程式は以下です。導出方法はWebにあふれているので検索してください。 ここでは経過時間、は位置を表す座標と経過時間で決まる確率分布、は拡散係数です。 1次元の場合 ラプラシアンはの2階微分になるので以下になります。 初期値を関数（≒位置にちょぴっとある溶液をスポイトで入れた）とすると、解は以下になります。 標準偏差がの正規分布になります。経過時間のルートでしか幅が広がりません。ここで、に溶液を入れた瞬間になどにおいて密度関数の値が非ゼロになってしまっている（粒子が瞬間移動している）のは、拡散係数の定義（仮定）に由来します。モデルは近似ですのでこういうことあります。 に個（単位はmolとか）の粒子をスポイトで入れたとすると、位置, 経過時間における粒子数は、分布にを掛けて以下にな