T-pon’s 一日一文Palm日記 with T|T5：素数の集合をごにょごにょすると・・・

上記の話に関連した事項をwikipediaで見つけた。それは選択公理(→Wikipedia)だ。 集合論を語るときによく用いられるZF公理系に 選択公理: X をそのどの元も互いに交わらないような空集合でない集合とするとき、X の各元から一つずつとってきたような集合が存在する。 を加えた、ZFC公理系を用いることが多いようだ。一見当たり前の公理だが、選択公理を認めてしまうと、バナッハ＝タルスキーのパラドックスなどいくつものパラドックスを生むらしい。今回の話はこのようなパラドックスの１つなのかもしれない。 ではどこに選択公理を用いていたかというと、 ③におけるBからCの作成だ。Bの各元について積の計算を行うことはちょうど「各元から一つずつとってきたような集合」を作ることに相当する。仮に選択公理が認められないとすれば、この操作は不可能である。つまり、 B = {φ, {2}, {3}, {2,