フーリエ級数の収束 - Wikipedia
フーリエ級数の収束（フーリエきゅうすうのしゅうそく）は純粋数学における調和解析の分野で研究される問題である。フーリエ級数は一般には収束するとは限らず、収束するための条件が存在する。 収束性の判断には各点収束、一様収束、絶対収束、L p 空間、総和法、チェザロ和の知識を要する。 前提[編集] 区間 [0, 2π] で可積分な f を考える。f のフーリエ係数 (Fourier coefficient) は以下のように定められる。 関数 f とそのフーリエ級数の関係は通常次のように記述される。 ここで ∼ は和がある意味で関数を表現することを意味する。より慎重な議論を要する場合には、部分和を以下のように定義する： このとき気になるであろう問題は次の事である： 関数 SN(f;t) は f へ、またどの意味で収束するだろうか？ 収束を保証する f の条件は何だろうか？ この記事ではこれらの問に関
| ∑ k = 1 p x 2 ( N + k ) ( 2 ( N + k ) ) ! | ≤ ∑ k = 1 p | x 2 ( N + k ) ( 2 ( N + k ) ) ! | = | x 2 ( N + 1 ) | ( 2 ( N + 1 ) ) ! ∑ k = 1 p x 2 ( k - 1 ) ( 2 ( N + k ) ) ! ( 2 ( N + 1 ) ) ! ≤ x 2 ( N + 1 ) ( 2 ( N + 1 ) ) ! ∑ k = 1 p x 2 ( k - 1 ) ( 2 ( N + 1 ) ) k - 1 ≤ x 2 ( N + 1 ) ( 2 ( N + 1 ) ) ! 1 1 - x 2 2 ( N + 1 ) = x 2 ( N + 1 ) ( 2 ( N + 1 ) ) !
0.はじめに 形式的冪級数は、収束性を考えない無限に続く多項式（級数） $f(x)$ であり、競技プログラミングではこれを利用して数え上げなどの問題を解くテクニックの総称としても扱われます。 最近はyukicoderなどでの出題が増えており、atcoderで出されることがある重要なテクニックになりつつあります。 今回はそんな形式的冪級数の応用的なテクニックをまとめていきます。 以下$[x^k]f(x)$を$f(x)$の$x^k$の係数の意味で使います わからないところや間違っていることがあればtwitterまでお願いします 0.1. 前提知識 フーリエ変換 形式的冪級数の基礎 0.2. 前編で解説する内容 $1/f(x)$verify $e^{f(x)}$verify $\sqrt{f(x)}$verify 微分積分 $\log(f(x))$verify $f(x)^k$verify 商と
先日、競プロやってたらhotmanから「形式的べき級数と数え上げの相性が抜群すぎてつながってて気持ちいい、世の中の眠る真理が目覚めた気がする」といわれて、気になったのでまとめた。 この記事は、数学的厳密性に欠けています。多くの変形が厳密な確認をなしにこれはこうと怪しいものが見受けられますが、初心者の人にお気持ちが伝わればいいと思います。ごめんなさい。 また、この記事は数え上げとべき級数はこんな感じでつながってるんだーと伝えるもので、有益テクがかなり含まれてるなどというわけでもありませんのでご注意ください。 この記事を書くにあたって、ずっと討論を重ねてくれたhotman(@hotmanww)さん、写像12相をすごくわかりやすい記事にまとめてくれたけんちょんさん(@drken1215)とTwitterで疑問を氷解させてくれた熨斗さん(@noshi91)と.さん(@___n___z)に多大なる敬
二項級数 - Wikipedia
数学の特に初等解析学における二項級数（にこうきゅうすう、英: binomial series）は二項式の冪（べき）のマクローリン級数を言う。 定義[編集] 具体的に、α を任意の複素数として、函数 f が f(x) = (1 + x)α で与えられるとき、マクローリン展開 の右辺に現れる冪級数を二項級数と言う。ここで、上の式は一般二項係数 が用いられている。 冪指数 α が自然数 n のときは、上記の級数の n + 2 番目以降の項はすべて零になる（明らかに、各項の因子に n − n が現れる）から、このとき級数は有限和であって、代数的な二項定理が導出される。 任意の複素数 β に対して、二項級数を なる形に書くことができるが、これは特に 1 において負の整数冪を扱う際に有用である。この式自体は 1 において x = −z を代入して、二項係数の等式 を適用すれば導出される。 収束性[編集
a,bの算術幾何平均を、M(a,b)として、FがGauss超幾何関数の時 であることは、よく知られてる。 19世紀後半に、Borchardtという人が、種数2のテータ関数(テータ定数)の倍角公式に基づいて、算術幾何平均の一般化を作ったようだ。 [PDF] 算術平均の周辺：Borchardtによる４項算術幾何平均とThomaeの公式 https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo18/18_2shiga.pdf Borchardtの論文は、オンラインでは見つけられなかった Über das arithmetisch-geometrische Mittel aus vier Elementen https://books.google.co.jp/books/about/%C3%9Cber_das_arithmetisch_ge
【級数】コーシーの収束判定法とは～具体例8つと証明～
定理（コーシーの収束判定法; Cauchy’s root test） 数列 \{a_n\} に対し， \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}= r とする。このとき， \sum_{n=1}^\infty a_n の収束・発散について 0 \le r < 1 ならば絶対収束 r > 1 ならば発散となる。 なお， r= 1 の場合は収束も発散もあり得ます。 これは，あくまで十分条件であることに注意してください。コーシーの判定法が使えないが収束・発散する例については後で述べます。 また，絶対収束すなわち \sum_{n=1}^\infty |a_n| < \infty となるとき，元の級数 \sum_{n=1}^\infty a_n も有限値に収束することは有名です。これについての証明は以下を参照してください。
【微分方程式】例題で学ぶ：級数解による解法（整級数） | ばたぱら
微分方程式を級数解によって解くとは、微分方程式の解の形を などと置いてしまって展開係数 を求める問題に替えて解くことである。例題を見ていこう。 1. 級数解による解法 例題は変数分離型なので簡単に解けるが、ここでは級数解による解法の練習として解いていこう。 級数解で解く必要性 与えられた微分方程式の解が の形であるならば、級数解で求めたものは のテイラー展開の形になっているだろう。 もっと複雑な などになっている場合だってある。 この解を求めるために、複雑な微分方程式を「同時型だ」「変数分離だ」とするよりも、あらかじめ解の形を決めておいて展開係数を求めるほうが簡単になる場合もある。 そもそも微分方程式の解が多項式になる場合だってある。 その場合に真面目に微分方程式を解くのではなく、級数解を求めるほうがずっと楽である。
c n = ∑ k = 1 n k ( - 1 ) n - k . n ≡ 0 ( m o d 2 ) c n = ∑ k = 1 n k ( - 1 ) k = - 1 + 2 - 3 + … - ( n - 1 ) + n = n 2 n ≡ 1 ( m o d 2 ) c n = ∑ k = 1 n k ( - 1 ) k + 1 = 1 - 2 + … + ( n - 2 ) - ( n - 1 ) + n = - n - 1 2 + n = n + 1 2
"大きな黒板を見上げて悩む数学者。黒板には右肩上がりの指数関数のグラフが描かれていて、そのグラフの右上に無限大の記号が書かれている" NHK「笑わない数学」シーズン2#7「1+2+3+4+ ･･･ = -1/12」を見ました。 1+2+3+4+・・・と自然数を無限に足し算していくと -1/12 になる？ 全く納得できないし、高校の数学のテストでこの答えを書いたら ✕ になります。 ある数列をずっと足し算していくことを、無限級数と呼び、その答えが「無限級数の和」です。高校で数学Ⅲを選択した人は習ったと思います。 無限級数は、一定の値に限りなく近づいていき「収束」すると「和」を持つといいます。 「収束」せずに、どんどん大きく（小さく）なって無限大（マイナス無限大）になってしまう「発散」と、大小の値を行ったり来たりする「振動」があり、この場合は「和」は持ちません。 1+2+3+4+・・・は、当然
package main import ( "fmt" "math" ) func sum(n float64) float64 { t := 0.0 for i := 1.0; i <= n; i++ { t += 1.0 / i } return t } func main() { for n := 1.0; n <= 20; n++ { l := math.Log(n + 1) c := sum(n) r := 1 + math.Log(n) fmt.Printf("%.2f <= %.2f <= %.2f: %v\n", l, c, r, l <= c && c <= r) } } % go run ./main.go 0.69 <= 1.00 <= 1.00: true 1.10 <= 1.50 <= 1.69: true 1.39 <= 1.83 <= 2.10: true 1
数学の具体的な計算にPython（SymPy）を使って、数学もPython（SymPy）も同時に学んでしまいましょう。今回はPython（SymPy）を使って関数のFourier（フーリエ）級数展開を見てみたいと思います。具体例として取り上げた関数について、そのFourier級数展開から円周率の級数表式が得られますが、おまけとしてこれをPythonで数値的に確かめてみます。 三角関数の直交性 Fourier級数展開 Fourier級数展開の例 具体例：f(x)=x グラフの描画 円周率（Leibniz／Eulerの級数） 三角関数の直交性 関数 は の変域で正規化された直交関数系をなします。実際に計算してみましょう： import sympy as sp x = sp.symbols('x') def c(m, x): if m == 0: return 1/sp.sqrt(2*sp.pi
∑ i = 1 r | x - a i | 2 = ∑ i = 1 r ( x - a i ) · ( x - a i ) = ∑ i = 1 r ( x · x - 2 ( a i · x ) + | a i | 2 ) = r | x | - 2 ( ∑ i = 1 r a i · x ) + ∑ i = 1 r | a i | 2 = r | x - 1 r ∑ i = 1 r a i | 2 - 1 r | ∑ i = 1 r a i | 2 + ∑ i = 1 r | a i | 2
形式的べき級数(FPS)を勉強するべく、AtCoderでFPSを使って解ける問題を集めました。多項式も含みます。 公式解説・ユーザ解説にFPS解法がない問題は、有志の解説を探してリンクしました。 これらの問題でVirtual Contestを作りました。ご自由に参加下さい。 https://kenkoooo.com/atcoder/#/contest/show/accf2cb4-2dc4-402e-994a-055fd9297203 形式的べき級数って何？という方は、以下の記事を読むとよいです。 誰でもなんとなく理解できる形式的冪級数 みちらからさん 形式的べき級数解説 maspyさん 【競プロer向け】母関数を習得しよう！ tatyamさん 一覧にないFPS問題を見つけた方は是非教えて下さいませ。 一覧表の各列の意味は以下の通りです。 diff atcoder problemsのdiff
A = [ 1 1 0 1 ] A 2 = [ 1 2 0 1 ] A 3 = [ 1 3 0 1 ] A 4 = [ 1 4 0 1 ]
複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (表 実(著)、迫田 誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-1(複素数とその四則演算)、問題5の解答を求めてみる。
どうも、木村（@kimu3_slime）です。 今回は、線形代数の応用として、関数の「空間・基底・内積」を使ったフーリエ級数展開を紹介します。 フーリエ級数展開とはまず、フーリエ級数展開とは何か、簡単に紹介しておきましょう。 18世紀の数学者・物理学者のジョゼフ・フーリエ（Fourier）は、固体の内部における熱伝導の時間発展について、すなわち熱伝導方程式を研究し、次のようなアイデアにたどり着きました。 任意の関数は、三角関数の無限和（フーリエ級数）として展開できる。 \[\begin{aligned} f(x)&=a_0 + a_1 \cos x + b_1 \sin x \\&+a_2 \cos 2x+ b_2 \sin 2x +\cdots \end{aligned} \] 「任意の関数」の意味合いは後に厳密化されていましたが、「三角関数に分解できる」というアイデアは正しく有効なもの
交代級数の一次結合的表現? - Qiita
交代級数(Alternating Series)概念は数列の次元では符号問題から出発し(1次元上において0度と180度の中間段階としての±90度を扱う為の)虚数(Imaginal)$i^2=-1$概念へと到達します。 【数理考古学】解析学史に「虚数概念」をもたらした交代級数 一方、関数の次元においてそれは(y=f(x)のグラフがy軸対称となり、f(-x)=f(x)の形で定義される)偶関数(Even Function)と(y=f(x)$f_e(x)$のグラフが原点対称となり、f(-x)=-f(x)の形で定義される)奇関数(Odd Function)$f_o(x)$の関係として立ち現れてくるのです(①②)。 偶関数・奇関数とは？意味や見分け方、積分での使い方 f_e(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},f_o(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\\ なぜならば\\ f_
無限について（その６）－無限級数について－
無限に関する前々回までの4回の研究員の眼で、無限に関するパラドックスを紹介してきた。また、前回の研究員の眼では、無限大（∞）に関する話題について、無限数列の和、差、積、商について、紹介した。そこでは、あくまでも「無限数列」を対象にしており、無限数列を前から順番に加えていって得られる「無限級数」については述べていなかった。 今回は、無限級数に関する話題について紹介したい。
module Lib ( harmonic, ) where harmonic :: (Fractional a, Enum a) => Int -> a harmonic n = sum $ take n $ map (1.0 /) [1, 2 ..] % stack build lesson-0.1.0.0: unregistering (local file changes: src/Lib.hs) lesson> build (lib + exe) Preprocessing library for lesson-0.1.0.0.. Building library for lesson-0.1.0.0.. [2 of 2] Compiling Lib Preprocessing executable 'lesson-exe' for lesson-0.1.0.0.. Buildi
#!/usr/bin/env python3 import random import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt print('2-18.') def partialsum(t, n, a): return np.sin(np.pi * a) / (np.pi * a) + 2 / np.pi * \ sum(a * (-1) ** (k - 1) * np.sin(a * np.pi) * np.cos(k * t) / (k ** 2 - a ** 2) for k in range(1, n + 1)) vectorized = np.vectorize(partialsum) t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10000) n = 5 for i in range(5): a = random
#!/usr/bin/env python3 import random import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt print('2-17.') def partialsum(t, n, a): return 2 / np.pi * \ sum(k * (-1) ** k * np.sin(a * np.pi) * np.sin(k * t) / (a ** 2 - k ** 2) for k in range(1, n + 1)) vectorized = np.vectorize(partialsum) t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 10000) n = 5 for i in range(5): a = random.random() * 5 print(a) fig = plt.figure(
『内海 聡 on Twitter: "何十回も述べているが、珍コ枠を打って助かる道はない。死亡やアナフィラキシーは幾何級数的に増加し、あとになるほど打つほどADEで危険は高まり、不妊リスクが激増し、すべては因果関係不明として別の病気で死んだように処理される。どんな解毒法も効果はない。"』へのコメント
世の中 内海 聡 on Twitter: "何十回も述べているが、珍コ枠を打って助かる道はない。死亡やアナフィラキシーは幾何級数的に増加し、あとになるほど打つほどADEで危険は高まり、不妊リスクが激増し、すべては因果関係不明として別の病気で死んだように処理される。どんな解毒法も効果はない。"
解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫 (著)、岩波書店)の第19章(フーリエ展開)、19.1(三角関数系とフーリエ級数)、問題1の解答を求めてみる。 | c n | 2 = a n - i b n 2 ( a n - i b n 2 ) - = ( a n - i b n ) ( a n - + i b n - ) 4 = | a n | 2 + | b n | 2 + i ( a n b - n - a - n b n ) 4 | c - n | 2 = a n + i b n 2 · ( a n + i b n 2 ) - = ( a n + i b n ) ( a - n - i b - n ) 4 = | a n | 2 + | b n | 2 + i ( a - n b n - a n b - n ) 4
無限について（その６）－無限級数について－
なお、有限数列の場合には、和の順番をどのような形に変更しても結果は同じになるが、無限級数の場合には、足す順番も重要で、足し算の順序を変更することはできない。無限級数の和は足す順序を変更することによって、その結果（収束や発散、収束するとしてもその極限値）が変わってくることがある。 収束する無限級数の場合には、有限級数と同様になるが、収束しない無限級数や収束の有無が不明な無限級数の場合には順番が重要になる。以下でその具体例を示す。 具体例（その１） 1－1＋1－1＋1－1＋・・・ この答えをSとした時、もし有限級数と同じような考え方を使用すると、以下のような計算ができることになる。 (1) S＝1－（1－1＋1－1＋1－1＋・・・ ） ＝1－S ∴S＝1／2 (2) S＝（1－1）＋（1－1）＋（1－1）＋・・・ ＝0＋0＋0＋・・・ ＝0 (3) S＝1－（（1－1）＋（1－1）＋（1－1
【微分方程式】ルジャンドルの微分方程式／級数解による解法 | ばたぱら
級数解を置いて微分方程式へ代入 まわりの級数を と置く。このように置くことで、微分方程式の一般解を求める問題を を求める問題に帰着させることができる。 微分する： これらを微分方程式(1) へ代入する。 微分方程式へ代入した時の の係数は これを０と置いて を得る。これは級数解の係数に関する漸化式である。 ２つの特殊解と一般解 特殊解を求めるときは、 を任意に取れる 。 以下では、 (i) (ii) の場合を考える。 (i) のとき： 漸化式(3)より また よって特殊解は (ii) のとき： 漸化式(3)より また よって特殊解は 一般解： ルジャンドルの微分方程式の一般解は上記の２つの特殊解の線型結合で表すことができる。 よって一般解：は ここで、 は定数で、 である。 ここで得られた特殊解の形は多項式の形をしている。 によって多項式の形が変わることもわかる。 は「ルジャンドル多項式」
鋸歯状波のフーリエ級数 - 数式で独楽する
本稿では、鋸歯状波(のこぎり波)のフーリエ級数を見ていきます。 鋸歯状波とは、その名の通り、鋸の歯の形をした波のことです。 波高が徐々に高くなり、急降下するものです。 数式で書くと、次のようになります。 \begin{eqnarray} f(x) &=& x \quad (-\pi < x < \pi) \\ f(x +2\pi) &=& f(x) \end{eqnarray}*1 フーリエ級数に展開すると、次のようになります。 \begin{equation} f(x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n -1} \, \frac{2}{n} \, \sin nx \end{equation} 関数は奇関数なので、奇関数である正弦関数で展開することになります。 フーリエ係数は、 \begin{eqnarray} b_n &=& \frac{1}{\pi} \int_{
数列とは、$a_0, a_1, a_2, \dots , a_n$のように数が並んだもの。 あるいは無限に続く数列の和である無限級数も考える。 組合せ論では漸化式や確率・統計で使われるnPr, nCrの話もする。 import import sympy as sym oo = sym.oo # 無限大 # 使用する変数の定義(小文字1文字は全てシンボルとする) (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z) = sym.symbols('a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z') import scipy as sci
群論の初歩、すなわち加法群(Additive Group)設定の話から再出発します。 【Python演算処理】環論に立脚した全体像再構築①空環と実数環 まず自然数集合$\mathbb{N}$に加法単位元(Additive Identity)0を追加した集合Aを用意する。 その逆元(Inverse Element)$A^{-1}$を用意する。 両者を統合すると加法整数群(Additive Integer Group)$\mathbb{Z}^2$が構成される。 さらに以下の考え方を導入し加法複素群(Additive Complex Group)$\mathbb{C}^2$を定義する。 群同型 Wikipedia 加法整数群$(\mathbb {Z},+)$は加法実数群$(\mathbb{R},+)$の部分群であり、商群$\frac{\mathbb{R}}{\mathbb{Z}}$は、同型写像$
by ライブドアニュース編集部 ざっくり言うと 24日の番組は、都の前日の新型コロナ新規感染者が366人だった件を特集した 小池都知事の「幾何級数的に増えていく」との発言を、長嶋一茂は疑問視 「どういう意味ですか？」「情報発信能力が逆に低いんじゃ」などと指摘した 提供社の都合により、削除されました。 概要のみ掲載しております。 関連ニュース ランキング 総合 国内 政治 海外 経済 IT スポーツ 芸能 女子
概要 AtCoder 第一回 日本最強プログラマー学生選手権 -予選- → ■ 問題F – Candy Retribution → ■ 自分の提出 → ■ 私はこの問題は、コンテスト中には解ききれなかった（解き方は分かったものの、残り時間がなくて実装を終えられなかった）のですが、公式解説にはない、形式的べき級数による考察をとったので、考察の要点などを書き残しておこうと思います。また、この問題をきっかけとして、形式的べき級数の数え上げへの基本的な利用について、少し一般的に扱いました。 以下、二項係数 ${}_n\mathrm{C}_k$ を $\binom{n}{k}$ と表記します。 形式的べき級数・代表的な等式 多項式を無限に続けていった式 \[ f(T) = a_0 + a_1T + a_2T^2 + a_3T^3 + \cdots \] を形式的べき級数と言います。多項式の仲間で、和
![形式的べき級数による数え上げ（JSC2019予選 [F]） | maspyのHP](https://cdn-ak-scissors.b.st-hatena.com/image/square/d3b83cb0b151f85f4ab582d54745629884ec04db/height=288;version=1;width=512/https%3A%2F%2Fmaspypy.com%2Fwp-content%2Fuploads%2F2023%2F01%2F5Dth6Yjz_400x400.jpg)
複素関数演習〈理工系の数学入門コース/演習 新装版〉 (表 実(著)、迫田 誠治(著)、岩波書店)の第1章(複素数と複素平面)、1-3(複素数の極形式)、問題5の解答を求めてみる。
２４日放送のテレビ朝日系「羽鳥慎一モーニングショー」（月～金曜・前８時）で、東京都が２３日、新型コロナウイルスの感染者が新たに３６６人確認されたと発表したことを報じた。 １日当たりの新規感染者の過去最多を更新し、初の３００人超えとなったことについて、小池百合子知事は「非常に大きな数字だ。都民には４連休の外出を控えてほしい」と訴えた。また大阪ではこの日、新たに１０４人の感染者が確認された。２２日の過去最多１２１人に続き、２日連続で１００人超となった。愛知、埼玉でも過去最多の感染者が確認された。 小池氏はこの日、これまで最多だった２９３人（１７日）を大幅に更新する３６６人の感染者数に「感染防止への協力をさらに強めていく必要がある警告でもある」と危機感をあらわにした。感染者が一気に３００人を超えたことについては、検査数が２０日に過去最多の４９２６件に上った影響があると説明。都によると、３６６人の
等比級数(トウヒキュウスウ)とは？ 意味や使い方 - コトバンク
〘名〙 等比数列の各項を加法記号「＋」で結んだもの。幾何級数。〔数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書（1889）〕
級数を始めるときに読む記事
まえがき級数初心者でも、 MZVが理解したいよ〜！って言いましたよね、今。 大丈夫です。ちゃんと聞こえてますよ。 この記事では初心者でも分かるように級数について話そうと思ったんですが、ちゃんと厳密に理解したい人には向いてないです。あくまで級数を始めたい人が一番最初に見るための記事なので、収束など厳密性を省くところが多々ありますが許してください。厳密性より流れ重視です。 そもそも級数って何？級数とは、つまり無限和のことです。数を無限に足します。それだけです。無限に数を足したら値も無限大になるんじゃないかと思ったそこのアナタ！そうならないときもあります！例えば、$\displaystyle1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=2$みたいなのが成り立ちます。 もう少し詳しく言うと、無限和は数列の有限和の極限です。なので、その極限が振動・発散した
幾何級数的と指数関数的の違いを教えてください。 - 同じですね。http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp... - Yahoo!知恵袋
ベストアンサー：算術級数は等差数列、幾何級数は等比数列と言い換えることができます。算術級数は等差数列の総和を表す式であり、幾何級数は等比数列の総和を表す式です。マルサスの人口論でも、
目的Fourier 変換から出発し、複素型の Fourier 級数および離散時間 Fourier 変換を導出し、さらにそれらから離散 Fourier 変換を導出する方法を知る。なるべく step-by-step に記述するが、怪しい式操作は気にしない。 原理下の図のように、それぞれの変換について対象となる関数の周期化や離散化を施すと別の変換を得られる。 \begin{CD} \text{Fourier 変換} @>{\text{時間領域周期化}}>{\text{周波数領域離散化}}> \text{Fourier 級数} \\ @V{\text{時間・離散}}V{\text{周波数・周期}}V @V{\text{周波数・周期}}V{\text{時間・離散}}V \\ \text{離散時間 Fourier 変換} @>{\text{周波数・離散}}>{\text{時間・周期}}> \text{
大きな違いは べき級数は無限級数で 多項式は有限級数であることです。 Σa_n x^n=a_0+a_1x+a_2x^2+... という形の級数であることはどちらも共通していますが、それが無限か有限か の違いです。
物理数学：複素フーリエ級数
複素数を学ぶと次のような「オイラーの公式」が早い段階で出てくる. この公式を利用すれば次のような式を作ることもできる. フーリエ級数は関数と関数ばかりで出来ていたから,この公式を使えば全てを指数関数を使った形に書き換えられそうである.複雑になるのか簡単になるのかはやってみないと分からないが,結果を先に言ってしまうと,怖いくらいに綺麗にまとまってしまうのである. まず,書き換える前のフーリエ級数を書いておこう. ただし,係数とは次の通りである. では早速始めよう.(3) 式に (1) 式と (2) 式を当てはめる. まだ途中だが,説明を入れておこう.この最後のところではなかなか無茶なことをやっている.しかし難しくはない.二つの指数関数を同じ形にしてまとめたいがために,和の記号のの範囲を変えてからへの和を取るように変更したのである.そのために,などという記号が一時的に導入されているが,ここでの
１－1/2＋1/3－1/4＋1/5－1/6＋…＝log2となりますが、 交代級数をうまく式変形することによって全ての項を足し算にできます。…
１－1/2＋1/3－1/4＋1/5－1/6＋…＝log2となりますが、 交代級数をうまく式変形することによって全ての項を足し算にできます。 ㅤㅤㅤㅤㅤ ＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8)－２(1/2＋1/4＋1/6＋1/8) ＝（１＋1/2＋1/3＋1/4＋1/5＋1/6＋1/7＋1/8)－(1＋1/2＋1/3＋1/4) ＝1/5＋1/6＋1/7＋1/8 この操作を永遠繰り返すと全ての項を足し算にすることができますが その無限級数もはやりlog2になるのですか？
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