天才数学者が二次方程式の簡単な解き方を考案！ - ナゾロジー
【編集注 12.29 18:00】 記事の内容に一部不明瞭な点があるとご指摘をいただきましため、内容を精査し、後日改めて訂正記事を公開いたします。 数学が好きな人も嫌いな人も2次方程式を習ったことでしょう。2次方程式を解くための方法は、「解の公式」や「解と係数の関係」など、世界中の人々が学んできました。 しかし最近、数学者ポーシェン・ロー氏が二次方程式の違った解き方を考案。歴史的に見れば決して「新しい」わけではありませんが、2次方程式に苦手意識のある人にとっては、その理解について新しい視点をもたらしてくれるかもしれません。 研究論文の詳細は「arXiv」で公開されました。
基本的に数学で覚えなければいけないことは無い
たとえば、数学がまともにできる人で、(a + b)(c + d)の展開公式を覚えている人はいないだろう。分配法則を知っていれば計算できるからだ。そして、多項式に対して分配法則が成り立つことは（もちろん厳密に証明することはできるが）自然な感覚であり、これも覚える必要はない。 こんな自明な例に限らず、数学で何かを覚えることが、遠回りであり、本末転倒であることを説明する。 また、読解力の低い奴のために補足しておくが、「覚えなくていい」というのは「勉強しなくていい」ということではない。まあ、こういう勘違いをする奴らはこの一文自体読めないから無駄なんだが、少なくとも俺が「ここに書いてあるだろボケ」と言うための根拠にはなる。 定義は覚える必要があるか無い。 「定義や公理は他の事実から導かれないので覚える必要がある」という意見があるが、間違いだ。 それは単に論理的に導かれないというだけであって、考えてい
オーストリアのカール・ラントシュタイナーによってABO式血液型が発見され、輸血医学の基礎が築かれたことは有名だ。1930年にラントシュタイナーはノーベル医学・生理学賞を受賞した。輸血の歴史については ■｢血液は生理食塩水で代用できるから輸血は必要ない…｣そんな荒唐無稽なデマの裏事情を医師が解説 動物の血を輸血した昔から､人の血を安全に輸血できるようになった今まで | PRESIDENT Online（プレジデントオンライン） に書いた。輸血とは直接は関係ないが、ABO式血液型の遺伝様式が決定された歴史も興味深い。私は、もう20年以上も前、大学院生のころにはじめて知ったのだが、じつにエレガントに問題を解決しており、いつかこの話を書きたいと思っていた。数式がたくさん出てくるこの話は難解だが、個人ブログだし、少しぐらい難しくてもいいだろう。細かい数式はわからなくてもなんとなく雰囲気を感じていただ
自分のような専門外の人間が「数学書」を読む時のメモ｜きぬいと
これは何？修士(文学)が数学を勉強する必要性に駆られているが、数学の書籍を読む方法について遠い記憶と見よう見真似でしか体得できていないので、インターネットの叡智も合わせて再度定式化して自分の逃げ道を奪うメモ。 僕の僕による僕のためのメモなので、他の人の参考になるかどうかは知ったことではない。 目的統計検定1級のために以下の書籍を理解を伴って「読了」するための方法について理解する。 過去の記憶修士(文学)とはいいつつ、学部〜大学院の頃に博士課程の先輩が主催する勉強会に参加して、読み方の片鱗を学んだ。その時は以下のことを概念的に学んだ記憶がある。 数学書1冊の読了に時間がかかることを受け入れる 1章が終わらないのはザラ。1行しか進まない日もある。 上記経験では(参加者との分担もあったためか)2年弱かかった。 数式には「行間(ギャップ)」がある 出てくる数式はつながりがあるが、それがわかりやすい
Pythonではじめる数学の冒険
数学を8年間、コンピュータサイエンスを3年間教えたことのある著者が、自らの経験に基づき、これからの時代に必要な数学とプログラミングの能力を身につけてもらいたいと筆をとった意欲作。定義や命題から入る伝統的なアプローチではなく、プログラミングによる視覚的アプローチで直感的な理解を促します。数学の視点からプログラミングを眺め、また逆にプログラミングの視点から数学を眺めることで、退屈な計算問題は、さまざまな工夫が可能なプログラミングの課題になり、プログラミングの文法は、数学の問題を解く上での強力な武器となり、それぞれの新たな魅力に気づかされるきっかけとなります。代数、幾何学、三角関数などの高校レベルの数学を使った数多くの例題を盛り込み、実際にProcessingでPythonプログラムを動かしながら、AI時代に求められる数学の能力を磨いていきます。 正誤表 ここで紹介する正誤表には、書籍発行後に気
数学嫌いの分かれ道、「みはじ」の深くて暗い川
小説『火垂るの墓』で知られる故・野坂昭如という人は、私にはかなり理解が難しい作家で、その作品を読んで面白いかというと、あまり面白いとは思えない。が、物心ついた頃はよくテレビ番組に出演していて、トレードマークだったサングラスと共にその風貌は記憶に焼き付いている。 いや、同じテレビでも、番組ではなく、むしろテレビコマーシャルでの印象のほうが強い。そりゃそうだ。小中学生は野坂昭如が出るような番組はめったに見なかったが、野坂昭如の出演する酒のコマーシャルは、傍若無人にも小中学生がテレビを見る時間帯にも放送されていたから。彼が「ソクラテスか、プラトンか」と歌うサントリーのCMは、今でも歌えたりする。調べると1976年の放送。自分は中学3年生か。でっかいわ～、大物よ～、っと。（さすがに若い人はわけが分からないと思うので「野坂昭如 ソクラテス」あたりで動画サイトで検索してみてください） そんな野坂昭如の
エルキースによるオイラー予想の反例：2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4 - tsujimotterのノートブック
こちらの記事は今日投稿された下記の動画に関して、さらに深い解説をする記事となっています。www.youtube.com よろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください！ フェルマーの最終定理の のケース に自然数解が存在しないことは、オイラーによって証明されていました。 オイラー自身は、この式の指数と変数の個数を1個ずつ増やした にも、同様に解がないことを予想しました（1769年）。以降もずっと指数と変数を増やして行っても同様に解がないと予想していたようです。割と自然な発想ですよね。 一見すると式 には自然数解がなさそうなので、長い間解がないと信じられていました。 ところが、1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって、式 の解が発見されたのです： この発見によってオイラー予想は間違っていることが示されたわけです。 次がそのランダーとパーキンの論文なのですが、1ページ
この記事はCompetitive Programming (1) Advent Calendar 2019の7日目の記事です。 対象読者 解説で多項式とか母関数とか形式的べき級数とか書いてあるとそっ閉じするあなた 厳密な話は要求しないから、テクニックとして理解したいあなた 🤔.oO（多項式の計算についてはライブラリを使うから、それを使うまでを理解したい） 注意：以下、なんとなくで厳密性に欠ける話しかしない。概念を理解できたら幸いだ （頑張って書いたから前半だけでも読んでって！） 第一歩「Array Restoring」 HackerRank Array Restoring まずは、数列を母関数に変換する。 「母関数が分からんから、見てるんだけど」という声が聞こえるので説明する。 数列を母関数には以下のように変換する。 係数に数列を置いた多項式のこと。この母関数をb(T)としておこう。 す
公式丸暗記教育が生んだ「試行錯誤」のできない日本の学生（芳沢 光雄）
2020年を振り返ると、世界中がコロナ禍で大変な1年であった。コロナに対する特効薬やワクチンの開発を期待して新年を迎えることになるだろう。 今年の前半、コロナの感染者数の推移を予測する「数理モデル」がとくに注目された時期があった。筆者も、「ロジスティック曲線」というモデルで自分なりに考えてみたい、と思ったこともある。 筆者にとってその方面は全くの分野外であるが、日本における数理モデルの理解に対する危惧が表面化した。コロナに関することだけに仕方がなかったのかも知れないが、あまりにも「当たったか、当たらなかったか」という結果に対してのみ多くの人達の目が注がれたことである。 結論だけに注目することの弊害 そもそも、数理モデルの研究は“改良”の歴史であると言えよう。そこにおいて大切なことは、「どのようなデータを用いて、どのような式を用いて結論を出したか」ということである。その辺りを無視して結論だけ
ツイッターに数学の問題が流れてきた。ツイ主さんのお子さんがチャレンジしていた応用問題とのことだった。元々は某県の高校入試問題らしい。概略は次の通り。試験問題は著作権法36条により著作権による制限を受けないはずだが、どっかから怒られたら消します。 30cm × 10cm のレンガを 36 個、周囲に並べて長方形の花壇を作る。レンガで囲まれた部分の面積が 64000 ㎠ であるとき、横に並べたレンガの数はいくつか。 ただし 横に並べたレンガの数 ≧ 縦に並べたレンガの数 とする。 四隅のレンガは下図のように配置するとの由。下図に青色の長方形で示したレンガの内側の面積が 64000 ㎠ ということのようだった。 ツイ主さんのお子さんは正解にたどり着いたらしいが、なんで答えが出るのかわからなかったようだ。正確にこの通りのツイートだったわけではないが、私の要約である。 よくある「なにがわからないかわ
３年生の１学期、中間試験 前々から発売を楽しみにしていた『ゼルダの伝説』を我慢し、（購入はしたらしい）やっとこさっとこ勉強にとりかかっておりました。しかしは母知っている。友達と『にゃんこ大戦争』に夢中になっていることを。 別に息子も隠していないんですけどね。ゼウスが出てくるとかアヌビスが出てくるとか教えてくれてるので。ギリシャ神話やエジプト神話が好きな母としては、ちょっと興味あり。 tekutekukotukotu.com とはいうものの、とりかかりが遅くて結局前にブログに書いた通り☝、理科などは宿題を終わらせるのが精いっぱいで突入した様子です。 今回はどれくらい仕上がったかはほぼ確認していません！ 結果が返ってきたら復習させればいいもんね！！！ でも暗記嫌いな息子はぎりぎりになってもこれは陽イオンだっけ！？なんてガックリすることをつぶやいてたな・・・。 暗記嫌いは数学にも出て、公式を覚え
数Ⅰ ２次関数 お絵描き感覚で解く「２次不等式」特殊バージョン編 - "教えたい" 人のための「数学講座」
前回は、 「２次不等式をお絵描き感覚で解く」と題して、 実際に塗り絵をしながら、 ２次不等式を解くということをしました。 具体的な内容は、 定番の、x軸との共有点が２つある場合に限っていました。 詳しくはこちらから 今回は、 それ以外の場合（特別編）について やっていきましょう。 特別とはいっても、 前回のお絵描き感覚があれば、 全然怖くないんです。 だって、大体のグラフがかくことができれば、 あとは、作業だけなんですから。 通常、２次不等式の通常ではない形は、 かなり戸惑う生徒も多く、 正答率も、ガタッと下がるところです。 お絵描き感覚が身についていれば、 差をつけるチャンス到来！ では、今回も楽しみながら、 １問１問、丁寧に見ていくことにしましょう 前回のおさらい ２次不等式 お絵描き例１ ２次不等式 お絵描き例２ ２次不等式 お絵描き例３ ２次不等式 お絵描き例４ ２次不等式はグラフ
2次方程式の解と係数の関係 | おいしい数学
2次方程式の解と係数の関係 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解を $\alpha$ と $\beta$ とすると $\displaystyle \color{red}{\begin{cases}\boldsymbol{\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta=\dfrac{c}{a}}\end{cases}}$ ※ 重解( $\alpha=\beta$ )のときも成り立ちます． 2次方程式の解と係数における関係式なので，そのまま"解と係数の関係"という公式名になっています． $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ が基本対称式になっているので，何かと登場機会が多く，暗記必須の公式です． 以下に示す証明を理解しておくと，忘れてもその場で導けます． 証明 証明方法を2つ紹介します．後者の方が
楕円曲線の有理点のランクを計算しよう！（2-descentの具体的計算） - tsujimotterのノートブック
楕円曲線 には、有理点が の4点しか存在しないことが知られています。特に、無限位数の点は存在しません。 今日考えたいのは 「無限位数の点が存在しないことを本当に証明できるのか？」 という問題です。実際、それは可能であるというのが、今日伝えたいことです。 2-descent という方法を用いると、無限位数の有理点のランクを決定できます。ランクとは無限位数の点を生成する点（生成点）の個数であり、これが 0 であることが示せれば無限位数の点がないこと意味します。 記事の最後でも触れたいと思いますが、上記の楕円曲線のランクを決定することで、「 は合同数でないこと」や「 のフェルマーの最終定理」を証明することができてしまいます。こんな風に、応用の上でもとても楽しいトピックになっています。よろしければ最後までお付き合いください。 目次： 今日の参考文献 2-descentとは (1)：モーデルの定理
こんにちは！ボス猿です！ 『雷雨ときどき晴れ』へのご訪問ありがとうございます。 いきなりですが・・・。我が家の5歳の三女。 公文に通い始めて1年4ヶ月になりました。 公文の繰り返し学習のおかげで、すっかり足し算もお手の物。九九も少しずつ覚え始めていい感じです。 この春からは、スマイルゼミの1年生コースの受講も始め、順調に学習に取り組めているのですが。。。 スマイルゼミ ここへきて躓いております。 そう、足し算も引き算もそれなりのスピードで解くことができているんで、ボス猿も何も考えていませんでしたが、思い出しました。 計算できることとその意味を理解していることは別物だということに・・・。 塾で教えていたころには常識だったこの事実。もうすっかり忘れていましたね(笑) どういうことかと言うと。 三女は計算式を解くのは何の問題もなく出来るんですが、それが文章になると突然全く解けなくなるのです。 例
先の投稿で、ChatGPTの出現で人工知能の進化に驚かされるも、数値計算に脆弱さがあることが判明しました（この記事の最後にリンク） 本稿では、数値計算に対する人工知能の能力について記します。そして人工知能の未来について考察しました。 ChatGPTの数値計算能力 【2次方程式】 先ずは、ChatGPTに一般的な2次方程式を解かせてみます。 中学校で習ったよね。 ChatGPTの回答は… 正解です！ 【4次方程式】 次に、下記の4次方程式を解かせてみました。 結果は… 4次方程式なので解は4つ（重根、虚数解を含む）あります。なのでChatGPTの解は正しくありません。 ChatGPTの数値計算能力は中学生レベルといったところですね。 ChatGPTに代わる計算アプリ 数値計算をChatGPTに委ねることは実用的ではありません。 そこで新たな数値計算アプリを探索しました。 いろいろ試した中で最
メモ Markdownの書き方 目次 メモ Markdownの書き方 デザインとMarkdownの関係 TEXT(編集のテキストボックス)の改行 スペース(スペースを１個以上続ける) 段落(空白行を追加すると段落になる) 強制改行(改行前にスペース２つ) ヘッダ(H1~H6) (章、レベルなど) (#~######まで) H1 H2 H3 H4 H5 H6 ヘッダー1 ヘッダー2 引用(ある意味インデント) (>を１つ以上付ける) 線(--- *** ___など１行で) コード１(等幅フォント) (‘(バッククォートで囲む。)) コード２(コードを埋め込む) (‘‘‘(バッククォート３つで囲む。)) コード３(その他) (「&」「<」「>」やスペース) 箇条書き(リスト) (「*」「+」「-」+スペースのマークを付ける) テーブル(| -を使って表現する) リンク([ ]と()で囲む) リ
大数学者アーベル（ノルウェイの誇り）：人類史上不滅の業績 ここに、スゴイ数学者がいる。ノルウェイの首都：オスロに彼の銅像が建ち、肖像画はノルウェイの最高額紙幣（５００クローネ）の顔にもなった・・・この男の名は、ニールス・ヘンリック・アーベル。（田口トモロヲ風に、「プロジェクトX」←古くてすいません。） （注：調べてみると、ノルウェイ・クローネは１０００クローネまでありますが、この紙幣はあまり流通しておらず、実質５００クローネが最高額紙幣です。） アーベル（ｗｉｋｉ） 彼、アーベル（１８０２－１８２９）の業績について、アーベル（ｗｉｋｉ）より（抄）、 1818年に、数学教師ベルント・ミハエル・ホルンボエ（英語版）に出会ってから、数学に興味を抱くようになった。友人達とヨーロッパ中を回って長く遊学し、オーガスト・レオポルト・クレレ（英語版）と知遇を得て、クレレの雑誌に多数の研究論文を掲載した。ヤ
２次関数後半戦の山場 ２次不等式の登場です。 ２回に渡って紹介した、 関数と方程式の関係を最大限に利用すると、 ２次不等式が、単にやり方だけではなく、 仕組みから理解できます。 ２次不等式は、 最終的には暗記で、機械的に覚えることになるのでしょうが、 亀きち自身は、 仕組みをじっくり理解すべき分野 なのではないかと思っています。 特殊解が出てくるものになると、 途端に解答率が落ちるのが２次不等式の特徴。 原因は、パターンでしか記憶ができていないから。 グラフと方程式（不等式）の意味を きちんと分かっていれば、 覚えるべきことは 一番最初にまとめる、たった１つのことだけなんです。 教える立場でも、 暗記させて演習となるのでしょうが、 その前に、イメージの植え付けがきちんとできているかどうかで 集団として、応用力に差が出てきます。 さらに、 イメージ解く考え方がしっかり身についておけば、 この
本記事ではプログラミング言語『Python』の数式処理ライブラリ『SymPy』の使い方を紹介します。 数式変形をすることそれ自体も楽しいものですが、単純作業という一面があることも否めません。効率よく勉強するには面倒な計算はコンピュータに任せてしまうのも一つの方法でしょう。 数式を処理するソフトウェアとしてよく知られているのはMathematicaでしょうか？利用者も多いので、わからないことがあったときなどは、その充実したヘルプ機能に加えて、ネット検索によっても解決策が得られやすいという長所があります。しかしいかんせん有料（結構高い）なので個人利用で導入するのは気乗りしません。 ここではMathematicaの代替として、Pythonで使える数式処理ライブラリ『SymPy』の使い方を紹介します。といっても、いち利用者として具体例を扱いながら、習うより慣れろで使い方を学んだだけなので、ちょっと
減衰振動は自由振動（単振動）の運動に、摩擦による抵抗の項を加えた運動になっている。減衰振動においては、振動の振幅がどんどん小さくなっていき最後には止まってしまう。 【参考】例題で学ぶ：ラプラス逆変換（振動運動の微分方程式） また、他の振動と同じく、変位 が小さい振動（微小振動）のときが重要である。よくある振動の種類は下にまとめた。 自由振動（単振動）：減衰振動： 強制振動（摩擦無し）： 強制振動（摩擦あり）： 非調和振動：（非線形の微分方程式） 1. 運動方程式 微小振動の場合は、摩擦は速度に比例すると近似できる。 比例定数 は正の値をとり、大きいほど摩擦による抵抗が大きい。運動を妨げる方向に働くために速度と逆符号（マイナス）になっている。 この摩擦力を自由振動の運動方程式の右辺に加えてやれば良い。 項の説明： 摩擦がない時の自由振動の振動数：減衰率： 2. 一般解 ２階の線形微分方程式を
二次方程式の解の公式の３通りの証明 | 高校数学の美しい物語
解の公式で a=2,b=3,c=−4a=2,b=3,c=-4a=2,b=3,c=−4 とすると， x=−3±32−4×2×(−4)2×2=−3±9+324=−3±414x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times 2\times (-4)}}{2\times 2}\\ =\dfrac{-3\pm\sqrt{9+32}}{4}\\ =\dfrac{-3\pm\sqrt{41}}{4}x=2×2−3±32−4×2×(−4)=4−3±9+32=4−3±41 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 の左辺を平方完成していく。 a(x2+bax)+c=0a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=0a(x2+abx)+c=0 a(x2+bax+b24a2)−b24a+c=0a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x
こんにちは、数学好きの108Hassiumです。 「数学好き」というと、「数学が得意」とか「研究者？」とか勘違いされることがたまにありますが、私は別に特技を自慢したいわけでも最先端の内容を追っているわけでもありません。 道なき道を行く数学者を「登山家」に例えるならば、私はただの散歩好きのようなもの。 ただ舗装されきった道を歩き回り、「ここにはこんなものがあるんだ」とか「ここはこことつながってるんだ」みたいな楽しみ方をしています。 しかし、そんな私でもいつの間にか見知らぬ場所を歩いていたり、時には未開の地へと続く道へ足を踏み入れてしまうことがあります。 というわけで、「簡単そうな問題について考えてたらめっちゃ難しそうな話になった」という体験談を3つ紹介します。 連分数 皆さんは「連分数」というものをご存知でしょうか。 こういうやつです。 要するに分数の中に分数が入ったやつです。 ちなみに、上
クロシロです。 ここでの問題の数値は適当に入れた値なので引用は行ってません。 今回は微分の集大成解いてる極値の求め方について紹介します。 そもそも極値って何？ 極値で何が分かる？ 極値を求める手順 極値の求め方 例題 極値の求め方 極値が存在しない例題 増加、減少の判断方法とは？ まとめ 確認問題 そもそも極値って何？ 極値とは最大値、最小値とは異なり、 グラフが増加から減少または減少から増加に変わる分岐点と思えばいいでしょう。 グラフで言うと山のてっぺん、谷の底の部分であります。 最大値と最小値はい関数の最も大きい値、最も小さい値であるので 極大値と最大値、極小値と最小値は全くの別物です。 極値で何が分かる？ 極値の問題で何が分かるか分からないと意味が無いので 説明すると、 極値を求めることでグラフの形を把握することが出来ます。 一次関数はただの直線。二次関数は放物線。 では3次関数以降
ここから二次関数の後半戦。 後半は、 ２次関数と２次方程式の関係、 ２次不等式、解の分離など、 前半の２次関数や、そのグラフを用いての 応用問題が続いていきます。 その中で、 この単元前半の、グラフに関する知識と、 中３までの２次方程式の知識 この２つが融合することになります。 これまでは、 方程式と関数は別物と考える生徒が多いと思いますので、 実はなかなかのインパクト。 最初にインパクトを与えて、 どちらか得意になれば、 両方とも得意になれるチャンスがある そう伝えることにより、 生徒のモチベーションをしっかり上げておきたいところです。 共通テストなどでも 出題が必須となる大切な部分。 基本的な２次方程式や２次不等式を、 まずは、パターンをしっかりとおさえて、 それを利用した、 応用問題や解の分離の問題に果敢に挑戦したいところです。 では、今回は、 ２次関数と２次方程式の関係に関する授業
「これからはPDCAよりOODAでしょ」・・・やたらと新語を使う必要はない（曽和利光） - エキスパート - Yahoo!ニュース
■PDCAやKPIはもう古い？ もう何十年使われているのかわかりませんが、仕事の改善の進め方であるPDCA（Plan-Do-Check-Action）サイクルや、仕事がうまくいっているのかどうかをモニタリングするためのプロセス指標であるKPI（Key Performance Indicator）はビジネスパーソンの共通語となったと言えるでしょう。 しかし、表題のようなことを書くと、「それらはもう古いってことですか」と思うかもしれません。「変化の早い現在は、PDCAじゃなくてOODA（Observe-Orient-Decide-Act）でしょう」とか、「KPIじゃなくてOKR（Objective and Key Result）でしょう」とか言いたいわけではありません。そういうことじゃありません。 ■その言葉って本当に必要？ ここでPDCAとOODA、KPIとOKRの比較をするつもりはありませ
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