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漸化式とは 以下に初項が $3$ で公差が $2$ の等差数列 $\{a_{n}\}:3,5,7,9,\cdots$ があるとします. これは $n$ 番目に $2$ を足すと $n+1$ 番目になると考えれば $a_{n+1}=a_{n}+2$ と書けます.そして $a_{1}=3$ などのように確定すると,数列が決まります.このように,隣同士の関係により数列の性質を表す式を漸化式と言います. 多くの場合,漸化式から数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めるのが目的です. 漸化式の出題タイプ全パターン 入試で頻出の漸化式の全パターンを紹介します.これ以外にもパターンがありますが,何らかの変形を施すことで以下のパターンに帰着できると思います. 左のリンクから各ページに飛ぶことができます. 隣接2項間漸化式 2-1型(等差型) $a_{n+1}=a_{n}+d$
関数の微分可能性について扱います. 微分可能の定義を確認し,関数の連続との関係についても言及し,微分不可能の例を挙げます. 微分可能の定義 関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるとは,$x=a$ における微分係数 $\boldsymbol{\displaystyle f'(a)=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ が存在することである. すなわち $\boldsymbol{\displaystyle \lim_{h \to +0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h \to -0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$ が必要で,それぞれ当サイトでは右側微分係数,左側微分係数と呼ぶことにします. ※ 微分係数 $\displaystyle f'(a)=\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)
2次方程式の解と係数の関係 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解を $\alpha$ と $\beta$ とすると $\displaystyle \color{red}{\begin{cases}\boldsymbol{\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta=\dfrac{c}{a}}\end{cases}}$ ※ 重解( $\alpha=\beta$ )のときも成り立ちます. 2次方程式の解と係数における関係式なので,そのまま"解と係数の関係"という公式名になっています. $\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ が基本対称式になっているので,何かと登場機会が多く,暗記必須の公式です. 以下に示す証明を理解しておくと,忘れてもその場で導けます. 証明 証明方法を2つ紹介します.後者の方が
(ⅰ) $\boldsymbol{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}$ (ⅱ) $\boldsymbol{\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}$ (ⅲ) $\boldsymbol{\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$ (ⅳ) $\boldsymbol{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}$
例題 $6$ 個の玉を次のように分ける方法は何通りあるか. (1) $6$ 個の異なる玉を,Aさんに $3$ 個,Bさんに $2$ 個,Cさんに $1$ 個分ける方法. (2) $6$ 個の異なる玉を,$3$ 個,$2$ 個,$1$ 個の $3$ 組に分ける方法. (3) $6$ 個の異なる玉を,Aさんに $2$ 個,Bさんに $2$ 個,Cさんに $2$ 個分ける方法. (4) $6$ 個の異なる玉を,$2$ 個,$2$ 個,$2$ 個の $3$ 組に分ける方法. (5) $6$ 個の異なる玉を,$4$ 個,$1$ 個,$1$ 個の $3$ 組に分ける方法. (6) $6$ 個の異なる玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人がいてもよい. (7) $6$ 個の異なる玉を,$3$ 人に分ける方法.ただし,受け取らない人はいない. (8) $6$ 個の異なる玉を,$3$ 組に分け
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