圏論「hom関手」再び、ついでに反変関手も | TETRA’s MATH

あいかわらず随伴関係の本式の定義には歯が立ちそうにない。 hom関手についてもう少し理解しておくと何かいいことがあるような気もするので、ちょっと見ておくことにした。 米田の補題をのぞいたときにさわりだけ見たので、今回はもう少しだけ突っ込んでみる。『圏論の道案内』（西郷・能美）を参考文献として、自分の理解の流れと表現で書いていく。 対象XからYへの射の集まりをHomC（X，Y）と書くわけだけれど、圏の定義ではこの集まりが集合であることを仮定しないので、対象X、Yを選ぶごとにHomC（X、Y）が集合であるような扱いやすい圏のことを局所的に小さな（locally small）圏と呼ぶのだった。ちなみに、圏の射全体の集まりを集合として扱える場合には小さな（small）圏というらしい。 局所的に小さな圏Cにおいて、対象Aを固定すると、Cの対象Xをとるごとに射の集合HomC（A，X）が定まる。これは集