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無限多重根号の不思議 - 数学自由研究
無限多重根号入門 根号(ルート)の中にまた根号があることを多重根号(nested radical)と言います。例... 無限多重根号入門 根号(ルート)の中にまた根号があることを多重根号(nested radical)と言います。例えば、こんな感じです。 さて、ここで、根号の中に根号を無限に連ねていくとどうなるでしょう。 このような形を無限多重根号(infinite nested radical)と呼びます。実はこれは答えを出すことができます。 まずは、上式をxとおき、両辺を2乗します。 … (式1) すると、根号を外した右辺にはx自身が現れるため、簡単な二次方程式になりました。これを解くと、xは2または-1となりますが、根号は正の平方根を表すものですから、-1は不適当で、答えは2と求められました。 正の実数の場合へ一般化 先ほどの問題では、根号(ルート)の中身が全て2でしたが、これを任意の正の実数の場合へ一般化してみます。 … (式2) 手順は先ほどと全く同じで、次の二次方程式を得ます。 … (式3) 二