2年生の夢（sophomore's dream） | 高校数学の美しい物語

f(x)=elog⁡f(x)f(x)=e^{\log f(x)}f(x)=elogf(x) exe^xex のマクローリン展開 積分と極限の順序交換（この記事では割愛） ∫01xn(log⁡x)ndx=(−1)nn!(n+1)−(n+1)\displaystyle\int_0^1x^n(\log x)^ndx=(-1)^nn!(n+1)^{-(n+1)}∫01​xn(logx)ndx=(−1)nn!(n+1)−(n+1) という積分公式（記事末尾で証明する） 左辺の被積分関数を変形する： 1xx=x−x=e−xlog⁡x=∑n=0∞(−xlog⁡x)nn!\dfrac{1}{x^x}=x^{-x}\\ =e^{-x\log x}\\ =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-x\log x)^n}{n!}xx1​=x−x=e−xlogx=n=0∑∞