懸垂線の２通りの導出 | 高校数学の美しい物語

ひもの両端を手で持ってたらした曲線の式が y=a(exa+e−xa)2y=\dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}})}{2}y=2a(eax​+e−ax​)​ になることを2通りの方法で導出します。 まずは，微分方程式を使う方法です。微分方程式は高校範囲外ですが，数3まで知っていれば以下の導出はなんとなく理解できると思います。 長いひもの一部 0≤x≤x00\leq x \leq x_00≤x≤x0​ の区間を考える。両端にかかる張力を T0,TT_0, TT0​,T，ひもにかかる重力を WWW，x0x_0x0​ でのひもの角度を θ\thetaθ とおく。 T0T_0T0​ は x0x_0x0​ によらない定数なので（注），力の釣り合いから以下の式が成立する： Tcos⁡θ=T0,Tsin⁡θ=W T\cos\theta=T_0, T\sin

[achakeym]

日常で指数関数e^xを感じるならやはり懸垂線

[millfi]

“懸垂線は紐の両端を持ってたらした式”が定義として成立することに驚いた