上極限集合/下極限集合とボレル・カンテリの補題【無限回試行の確率】

上極限集合と下極限集合を定義し、ボレル・カンテリの補題を導きます。 これらは式にすると複雑に見えますが、ことばで表現すると簡単に理解することができます。 とくにボレル・カンテリの補題は、無限回の試行に対する確率について、私たちの直観にあう解釈を成り立たせるための、基礎的な条件を述べたものに過ぎません。 上極限集合と下極限集合定義\(A_{1}, A_{2}, \dots\) を集合の列とします。 このとき、上極限集合 $$\limsup_{n\to\infty} A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}$$ と、下極限集合 $$\liminf_{n\to\infty} A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}$$ を定義することができます。 数式による