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最小二乗法の幾何学的な意味
はじめに N個のデータ点をM個のパラメーを用いて最小二乗法でフィッティングしようとする時、これはN次... はじめに N個のデータ点をM個のパラメーを用いて最小二乗法でフィッティングしようとする時、これはN次元空間のデータ点から、M次元部分空間への正射影を求める問題と等価になります。ですが、N次元空間とかM次元部分空間とか言われても普通は想像できません。また、元々フィッティングしようとしていたデータの住む空間とは異なる空間での話になるのも混乱を助長します。 以下では簡単な系で「なるほど、たしかに最小二乗法は射影だな」と思えるような説明を試みます。 最小二乗法 まずは最小二乗法を定式化しておきましょう。簡単のため、データはスカラーであるとします。何か入力値xがあるとき、その出力yを予想する関数y = f(x)を推定するのが目的です。 N個入力点x_1, x_2, \cdots, x_Nに対して、観測値y_1, y_2, \cdots, y_Nが与えられているとします。これをM個のパラメータ\the