Immersive Math
immersive linear algebra by J. Ström, K. Åström, and T. Akenine-Möller v1.1. ISBN: 978-91-637-9354-7 The world's first linear algebra book with fully interactive figures. Learn More Check us out on Twitter and Facebook Preface A few words about this book. Chapter 1: Introduction How to navigate, notation, and a recap of some math that we think you already know. Chapter 2: Vectors The concept of a
わかりにくい線形代数を操作可能な図で表現することで簡単に理解できる無料の教科書「Immersive Math」
「Immersive Math」は、数学のうちベクトルや行列などの計算を研究する分野である「線形代数」についてインタラクティブな図を用意することでわかりやすさを向上させた無料の教科書サイトです。 Immersive Math https://immersivemath.com/ila/index.html サイトのトップページはこんな感じ。「完全にインタラクティブな図を備えた世界で最初の線形代数本」と述べられています。 中央に表示されている三角形の図はインタラクティブで、左上をクリックすることで回転・停止を切り替えられるほか、各頂点をクリックしてドラッグ＆ドロップすることで位置を調整可能。自由に図を編集できるため理解しやすいというわけです。 ページをスクロールすると目次が現れました。まずは「Preface(序文)」をクリック。 「『百聞は一見に如かず』という言葉の通り、たくさんの言葉を重ね
大学数学の難関分野：【位相空間論】とは一体何なのか？｜きいねく
第1節 数学の3つの柱と位相空間論の役割 大学の数学科で学ぶ数学には，実に様々な分野があります．それらは主に次の3つの分野に類別されることが多いです． 【解析】 【代数】 【幾何】 純粋数学は，厳密な論理を土台として展開されます．解析・代数・幾何，それぞれの分野にも特有の論理の土台が存在します．解析なら実数や微分などの論理，代数であれば群や環の論理，そして幾何なら空間の論理などです． 位相空間は幾何学を展開する上で最も基本的なものである連続概念の論理的な部分を扱う分野であると言えます． 空間の中では，連続変形や微分積分など様々なことが行われます．そのなかでも空間の連続性に着目し，それを突き詰めて考えていくと出てくるのが位相空間という考え方です． 私たちが空間を思いうかべるとき，そこには必ず連続という考え方があります．空間の中で図形を「連続的に動かす」とかグラフが「連続的につながっている」な
関数の拡張と 1+2+3+4+5+... = -1/12 の謎｜きいねく
第1節 簡単な関数の例 まずは次のような関数を考えてみましょう． 定義域に注意して下さい．この関数は |z| < 1 でしか定義されていません．この関数を実数全体に拡張したい場合どうすればよいでしょうか？ この場合は，単に定義域を【実数全体】に書き換えてしまえばいいだけで，何も難しいところはないように思われます．こうして実数全体に定義された関数を，F の上にニョロマーク ～ をつけて と書くことにします．この関数こそ，一部でしか定義されていなかった F(z) の，いわば【本体】であると言えます． 以上の話は，定義域を書き換えるだけの話であり，関数の拡張に関する議論の重要性をあまり感じるものにはなっていません． 第2節 関数の式がおかしい？ では，次の関数はどうでしょうか？ この関数は，数式中に現れる等比級数部分の収束を保証するために， | z | < 1 の範囲でしか定義されていないもので
ラマヌジャンは本当に何も知らなかったのか
$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{Aut}[0]{\operatorname{Aut}} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\delta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{F}[4]{{}_2F_1\left(\begin{matrix}#1,#2\\#3\end{matrix};#4\right)} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{G}[0]{\Gamma} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{Gal}[0]
πが超越数であることの証明 - INTEGERS
前回の記事ではの超越性を証明しましたが、今回はが超越数であることの証明を紹介します。これまた、溢れんばかりに文献はあるのですが。。。 Lindemannの定理 (1882) 円周率 は超越数である。従って、円積問題は否定的に解決する。 F. Lindemann, Über die Ludolph'sche Zahl, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 2, (1882), 679–682. F. Lindemann, Über die Zahl , Mathematische Annalen, 20, (1882), 213–225. 補題 , とする。また、とを定める。このとき、任意のに対して、はなる評価を満たす。ここで、は の係数を全てその絶対値で置き換え
書籍『せいすうたん１』（小林銅蟲氏との共著）が出版されます！ - INTEGERS
私にとっては二冊目の書籍となる『せいすうたん１』がもうすぐ発売予定です。こちらは漫画家の小林銅蟲氏との共著です*1。176ページ、税込みで1980円です。内容：整数たちが冒険する漫画本。 www.amazon.co.jp これは販促記事です。日本評論社が刊行している雑誌『数学セミナー』の2020年4月号〜2021年3月号において、小林銅蟲先生の漫画『せいすうたん』が連載されていました。『数学セミナー』で漫画が連載されたのは初めてのことであり、私はその漫画で扱う数学的内容の監修者でした。さて、『数学セミナー』における数学に関する連載はその後、数学書としてしばしば単行本化されます。また、漫画雑誌で連載された漫画についても、後に単行本化されることは多いと思います。『せいすうたん１』は2020年度連載分の待望の単行本化となります！お待たせしました！！連載時は毎月2ページの漫画が掲載されていたのです
数学基礎論 増補版 - 東京大学出版会
予備知識を仮定せず、数学基礎論の基本的結果とその技法やアイディアを広くていねいに解説した本格的教科書、待望の増補版。不完全性定理の意義、算術的完全性定理、ロビンソンによるモデル完全性の初歩事項や演習問題なども追加し、より充実した内容に。 はじめに 数学基礎論の問題構制 本書の構成 I部 入門篇 第1章 １階論理入門 第2章 計算理論入門 第3章 不完全性定理 II部 基礎篇 第4章 「基礎篇」の準備 第5章 モデル理論 第6章 計算理論 第7章 集合論 第8章 証明論 付録A 補遺 付録B 演習略解 付録C 文献案内 Mathematical Logic Expanded Revised Edition Toshiyasu ARAI
Eratosthenesの篩から素数の無限性と密度を暴く
※本記事は、はてなブログに投稿してたのを統合してMathlogの様式に合わせて移植したものになります。 以下、関数$\pi,\mu,\lfloor\cdot\rfloor$をそれぞれ素数計数関数、Möbius関数、床関数とします。どれも有名な関数なので、それぞれがどのような関数なのかの説明は省略しますが、万が一分からないものがあったらggってWikiとか見てください。 また、関数$P\colon[1,\infty)\to\mathbb{N}$を $$ P(x):= \displaystyle\prod_{\substack{p\le x \\ p\colon\mathrm{prime}}}p $$ で定めます。ただし、$x\in[1,2)$では空積を適用します。 さて今回は、Legendreが発見した、次の素数計数関数に関する等式で遊んでみようと思います。 1以上の実数$x$に対して $$
バーゼル問題を解いてみよう！（1/n^2の無限和） - 理系のための備忘録
こんにちは。管理人のpencilです。 「バーゼル問題」とは、 平方数の逆数をすべて足し合わせると和はいくらになるか？ という問題で、名前を知らずとも一度は（区分求積法の分野などで）目にしたことがある問題だと思います。今回はそのバーゼル問題を取り上げてみます。 バーゼル問題について 無限級数$$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}}={\dfrac {1}{1^{2}}}+{\dfrac {1}{2^{2}}}+{\dfrac {1}{3^{2}}}+\cdots$$の値が幾らになるのかという問題は17世紀後半から18世紀前半の西洋数学界における大きな関心事でした。これは「バーゼル問題」と呼ばれ、多くの数学者の挑戦を撥ね退けてきた難問として当時から広く知られていましたが、遂に1735年、数学者レオンハルト・オイラーによってエレガ
準同型写像・同型写像の定義と基本的な性質【群・環・体】
定義1（群の準同型・同型） G,H を群とする。写像 f\colon G\to H が \color{red}\large f(ab) = f(a)f(b)\quad (a,b\in G) をみたすとき， f を群の準同型 (homomorphism) という。 さらに f が全単射なら群の同型 (isomorphism) といい，\color{red} G\simeq H や \color{red}G\cong H とかく。 群の準同型とは「積を取ってから写したものと，写してから積を取ったものが等しいものだ」と言っているんですね。ある意味，群の準同型とは，群の構造を保つ写像といえるわけです。 同型とは，群として同じ構造であるという意味です。同型ならば，群として全く同じものであると思って差し支えありません。 f が全単射なら，逆写像 f^{-1} も同型になっていることが分かります(→定理
エラトステネスの篩を数式で表すと・・・？ - tsujimotterのノートブック
素数の一覧表を作るときに、一個一個の数を素数かどうか判定していくのもよいですが、もう少し効率的に行う方法があります。 その方法の一つが エラトステネスの篩（ふるい） です。 エラトステネスの篩は、情報系の大学生であればプログラミングの演習等で一度は実装したことがあるかと思いますが、実に「アルゴリズム的」なものです。説明の際は「手順」を説明されることが多く、私はこれを数式で表そうと考えたことがありませんでした。 ところが、Wikipediaを見ると、エラトステネスの篩はこんな数式で表せると書いてあります。 細かい定義は次のとおりですが、本文の中で順に説明していきます。 ： 以下の素数の個数 ： 以下のすべての素数を掛け合わせて得られる数 ：メビウス関数 ：ガウス記号（ を超えない最大の整数） ： は を割り切る こんな風に表せるのか！と驚いた一方で、これはいったいどういうことなんだろうとも思
無理関数の不定積分と双曲線、微分形式 - tsujimotterのノートブック
今日考えたいのは、 や というタイプの積分です。 いわゆる無理関数の積分と呼ばれるもので、大学受験でも難関大学の問題として登場するみたいですね。 今回の記事のきっかけとなったのは、清さんによる以下のツイートです： 【清史弘からの提案 7 】 教育系YouTuber の人に向けて、このような動画はどうですか? という内容です。もちろん、YouTuber でない方もご参加ください。 私の考え方は24時間以内にあげようと思っています。 これは、唯一の正解というよりは、いろいろとあってよいと思います。#清史弘からの提案 pic.twitter.com/UokREtslQt— 清 史弘 (@f_sei) 2020年9月13日 上のツイートによると、今回の積分は という変数変換がキーになるようですが、いったいどこからこの式が現れたのか説明せよ、というのが問題です。 清さんのツイートの引用リツイートに、
しっかり学ぶ数理最適化 ヒューリスティック編 - Qiita
これはどんな記事? 本記事は、私がヒューリスティック関連の知識をまとめることになった際に作成したJupyter Notebookを、Qiitaの記事へと改変したものです。 前提としてこれは梅谷俊治先生の「しっかり学ぶ数理最適化 モデルからアルゴリズムまで」という本(以下、教科書と表記)の内容に準拠しています。 そしてその内容の多くは、ありがたいことにネット上の様々な形で公開されており、梅谷先生によるスライド1やスライド2、日本オペレーションズ・リサーチ学会(以下、ORと表記)での記事1や記事2、そしてORの他の方の記事1や記事2などでも類似した内容を見ることが可能です。 (そしてそれ故に、本記事を公開させて頂いています。流石に本家の方がネット上で公開されていない内容を書くのは、例え権利的に問題がないとしても気が引けるので……) また、この記事は、それらの内容を踏まえた上で、私がネット上の様
数学クラスタによる「ケーキを7等分する選手権」の入賞作品が美しい これ全部理解できますか？
数学クラスタが考えた「ケーキを7等分する選手権」の入賞作品が、どれもすばらしいアイデアと着想にあふれまくっていて驚かされます。 最優秀賞「定規とコンパスでケーキを7等分するの図」 数学を愛する会（@mathlava）さんが開催した、数学クラスタ向けのケーキカット選手権。4等分や8等分なら平等に切り分けるのが簡単ですが、7等分となると簡単にはできません。平等にケーキを切り分ける難問に、数学の知識を最大限に活用して挑みます。 最優秀賞に輝いたのは「定規とコンパスでケーキを7等分するの図」と題して投稿されたカット方法。点の取り方など証明もしっかりと書かれていて、「作図の簡単さで非常に優秀」と大絶賛の講評を獲得しました。 優秀賞は「その美しさはもはや芸術の域」と賞賛される細分化されたカットと、切りたいケーキの周辺に同じサイズのケーキを6個用意して切り分ける2点。ケーキを円としてでなくホールケーキと
x + 0.25 - 0.25 = xが成り立たないxとは何か｜Rui Ueyama
スタンフォードのコンピュータサイエンスの授業で、ときどきこれは良問と思う問題がテストで出ることがある。僕の印象に残っているのは「xをfloatとするとき、x + 0.25 - 0.25 = xが成り立たないxを求めよ」というものだ。浮動小数点数を理解していないと、両辺が同じにならないケースがあるほうが不自然に思えるだろうから、この問題は浮動小数点数の奇妙さを結構うまく突いていると思う。この問題を元に浮動小数点数についてちょっと説明してみよう。 まずコンピュータ上での数について少し考えてみよう。コンピュータにおける数と、数学の整数や実数は、よく考えてみると全然違う。コンピュータは有限の記憶領域しか持っていないので、無数にある数を表すことが根本的にできない。つまりコンピュータ上の数は「本物の数になるべく似せた別の何か」だ。現実的には、例えば32ビットの数なら2^32パターンしか表せないので、そ
「ぷよぷよは計算困難」―パズル・ゲームと最適化アルゴリズム― – Ono Laboratory
はじめに 最近，「一般化ぷよぷよのより強い計算困難性」なる研究を発表しました（東北大学の江藤宏先生，九州大学の木谷裕紀先生との共同研究．国内研究会であるゲームプログラミングワークショップで江藤先生による口頭発表．2021年12月30日現在，pdfはここから取れます）． これは有名なビデオゲーム「ぷよぷよ」を一人用のパズルと見立てたとき，かつそれを一般化した場合，どの程度難しいものであるのかを（最適化）アルゴリズム論的に分析したものです．今回「最適化技術の応用・実践」に関する記事を集めよう，ということになりましたので，ちょうどよい題材ということで，この研究をより一般向けに解説してみようと思います．一般向けですので証明自体には踏み込まず，既存の定理と得られた定理の意義をおよそわかっていただくことをこの記事の目標とします．ただし「ぷよぷよ」について関してはおよそルール等がわかっている方を対象とし
1+2+3+4+5+6+7+8+…= -1/12 になる理由をできれば高校の文系数学レベルぐらいで教えてくださいませんか？
回答 (8件中の1件目) 詳しい方には嘘を教えるなとすげぇ怒られそうなんですが、「私達に馴染みのない数の世界で計算したから」です。 そもそも、この式で使われている証明などで使われている方法は無限や0を使っていて厳密性が怪しかったりします。そもそも私達の知っている数の世界ではどうがんばっても1+2+・・・は無限(数学的には発散)になります。 んが、これを私達とは馴染みのない「虚数がある世界(複素数の世界)」にもっていき、リーマン・ゼータ関数という関数に適用するとご質問の式になります。複素数なんてこの等式のどこにも出てきませんが、実は複素数を使った時に出る等式です。 後は以下をご参考下...
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超難問論理クイズ「2人の幼女とチェス盤の部屋」が本当に難しすぎた - 明日は未来だ！