はじめに このブログに書かれていること 自己紹介 注意 Part1 古典暗号 2つの暗号方式 スキュタレー暗号 アルゴリズムと鍵 シーザー暗号 原理 頻度分析 アルベルティ暗号 ヴィジュネル暗号 如何にしてヴィジュネル暗号は破られたか Part2 近代暗号 エニグマ エニグマの登場 エニグマの基本構造 如何にしてエニグマは突破されたか 前提条件 必ず異なる文字に変換される性質を利用 ループを利用 まとめ 参考文献 採用情報 はじめに このブログに書かれていること 前半 古代暗号から始まる暗号の歴史 エニグマの構造と解読法について 後半（後半ブログは こちら） RSA暗号の基本 楕円曲線暗号の基本 自己紹介 こんにちは！株式会社ABEJAの @Takayoshi_ma です。今回のテックブログですが、ネタに5時間程度悩んだ挙句、暗号を取り上げることにしました！暗号化手法の解説にとどまらず、そ
はじめに このブログに書かれていること 自己紹介 注意 Part3 現代の暗号 共通鍵暗号方式と鍵配送問題 鍵配送問題とは？ 共通鍵暗号方式と公開鍵暗号方式の違いとメリット・デメリット RSA暗号 RSAで使われる鍵 処理手順 暗号化の手順 復号の手順 RSA暗号の数学的背景 一次不定式が自然数解を持つ理由 eとLの関係性 そもそもなぜこの式で元の平文に戻るのか？の数学的根拠 証明パート１ フェルマーの小定理 中国剰余定理 RSA暗号をPythonで 楕円曲線暗号 楕円曲線とは？ 楕円曲線の式 楕円曲線における足し算の定義 楕円曲線における引き算の定義 無限遠点 楕円曲線における分配法則と交換法則 楕円曲線の加法を式で表現 点Pと点Qが異なる場合 点Pと点P 同じ点を足し合わせる場合 有限体 有限体とは？ 有限体上の楕円曲線 楕円曲線暗号における鍵 ECDH鍵共有 数式ベースでの手順説明
お久しぶりです。yoshiです。みなさん、夏を満喫していますか？ 私は溶けそうです。日本の夏はとってもあつい。 覚えている方がいるかどうかは分かりませんが、以前私はRSA公開鍵暗号アルゴリズムを理解するという記事を書きました。今回はその続編（？）です。 楕円曲線について 楕円曲線、という言葉を事前知識無しで見ると、 多分こんな画像が脳裏に浮かぶと思います。違います。 楕円曲線の楕円は楕円積分から現れた言葉で、楕円積分は文字通り楕円の弧長などを求める方法なので全くの無関係とは言えませんが、少なくとも楕円曲線と楕円は別の図形です。楕円のことは忘れましょう。 実際の楕円曲線は、例を示すと以下のような曲線です。 一般化すると (ただし または ) という式で表されるこのような曲線をワイエルシュトラス型楕円曲線と呼びます。ワイエルシュトラス型、と付いているのは他のパターンもあるからで、 こんな形の楕
整数論専門院卒、非数学者です。 まずは 1. ガロア理論 2. 楕円曲線 の二つについて理解することを目標にされるといいと思います。 この二つは19世紀以前の数学の最高峰であり、また現代数学の多くの分野に関連することから、IUTを目標としない人でも学ぶ価値のある理論だと思います。 またIUTでは楕円曲線のガロア理論を用いて数の加法や乗法の構造を調べるというようなことをしています。 以下では、上の二点についてもう少し詳しく説明してみます。 1. ガロア理論 ガロア理論は方程式を解くということを群という対称性を用いて理解するものです。これを用いて5次方程式の解の公式の有無や作図問題などの古典的な問題が解決されました。これを理解するためには代数学、特に群や体について基本的な事を学ぶ必要があります。 さらに整数論に関わるものとして、p進体などを学んだ上で類体論を勉強なさるのがよいと思います。p進体
はじめに 先日職場の勉強会でRSA暗号、楕円曲線暗号について発表をしました。面白いことに話の全体を通してフェルマー(17世紀のフランスのアマチュア数学者)が登場しました。 RSA暗号の鍵となる素数の面白い性質としてフェルマーのクリスマス定理(4で割って1余る素数が2つの平方和であらわせるやつ。等) の紹介。 RSA暗号で平文、暗号文を変換するアルゴリズムの原理の証明にはフェルマーの小定理を使う。 楕円曲線はフェルマーがそれと知らず(?)好んで研究の対象にしていた。 「楕円曲線はモジュラーである」という谷山–志村予想(の特赦なケース)を証明することでフェルマーの最終定理が証明された。 フェルマーはパスカルと共に確率論を創始するなど、上記の暗号関連の話以外にも重要な仕事を行なっております。フェルマーは17世紀の人ですが、現代社会の根っこの部分に彼が与えた、与えている影響は大きそうです。ただ、今
日本ベリサインは2013年2月14日、SSLサーバー証明書発行サービス「マネージドPKI for SSL」で選択可能な公開鍵暗号方式を拡充すると発表した（写真）。2013年上半期（2月26日を目標）から、従来のRSA（素因数分解による公開鍵暗号方式）に加えてECC（楕円曲線による公開鍵暗号方式）とDSA（離散対数による公開鍵暗号方式）を選択できるようにする。発行料金はRSA/ECC/DSAのいずれも選んでも同一であるほか、RSA証明書（1枚）の発行料金だけでRSA/ECC/DSAの3種類の証明書（3枚分の証明書）を同時に発行できる。 RSA以外の公開鍵暗号を用いた証明書発行サービスは、商用サービスとしては初めて、としている。ECCやDSAの証明書は、これらを利用可能なSSL製品（Webサーバー/Webブラウザーなど）において利用できる。日本ベリサインによれば、現在の主要なWebサーバー/ブ
楕円曲線と暗号
東京理科大学理工学部数学科談話会 https://wiki.ma.noda.tus.ac.jp/rs/seminar/2020/05Read less
最近、楕円曲線の理論を解説している数学書をいろいろ読んでいるのだけど、出色の本があったので紹介しようと思う。それは、シルバーマン&テイト『楕円曲線論入門』足立恒雄・他訳(丸善出版)だ。とは言っても、きちんと読んだのは、まだ第１章だけで、あとはざっと眺めただけなのだが、それでもはっきり、「すばらしい本」だと評価できる。 楕円曲線論入門 作者: J. H.シルヴァーマン,J.テイト,Joseph H. Silverman,John Tate,足立恒雄,木田雅成,小松啓一,田谷久雄出版社/メーカー: 丸善出版発売日: 2012/08/25メディア: 単行本この商品を含むブログを見る 楕円曲線というのは、高校で教わる「楕円」とは異なることに注意しよう。楕円曲線は、(yの2乗)=(xの3次多項式)という方程式で定義される曲線であり、楕円(a(xの2乗)+b(yの2乗)=定数で定義される)とは全く異な
お断り この記事は『Software Design2022年3月号』の「第4章：電子署名のプロセスを体験 Pythonによる楕円曲線暗号の実装」の入稿記事を技術評論社のご好意で公開したものです。 元はLaTeXだったのをマークダウンに修正し、二つに分けています。 記事中のサンプルコードはサポートページからダウンロードできます。 はじめに この章では楕円曲線を用いた鍵共有や署名をPythonで実装します。実装するために必要な数学は随時解説します。 動作確認はPython 3.8.10で行いました。 コードは動作原理を理解するためのものであり、細かいエラー処理などはしていません。 プロダクト製品などで利用できるものではないことをご了承ください。 用語のおさらい 楕円曲線暗号の位置づけ まず最初に用語の確認をします。 「暗号」は複数の意味で使われます。 一つは「データを秘匿化するために、他人に読
※本ブログは2024/2に執筆されています。そのため、アップデートによってここに記載されている内容が現状と乖離する可能性があります。記載する内容を参照する場合は自己責任でお願いします。 はじめに こんにちは! ドワンゴでエンジニアをやっている小林と申します。競技プログラミングを趣味にしています。 今回は業務には関係ありませんが、個人的に興味のあるトピックであるセキュリティーについて執筆します。 対象読者: 以下のどれかを満たす人 AtCoder で青色〜黄色以上、あるいは意欲のある水色以上 暗号理論に興味のある人 数学が好きな人 また、簡単な群論の知識を仮定します。(群の定義など) まとめ セキュリティーの強さはセキュリティーレベルと呼ばれる尺度で測ることができます。 \(k\) ビットセキュリティーはおよそ \(2^k\) 回の計算を要するレベルです。 \(n\) ビットの楕円曲線暗号方
富士通株式会社と株式会社富士通研究所（以下、富士通研）は1月18日、インターネット通信などの新暗号技術である「楕円曲線暗号」について、RSA暗号との精密な強度比較基準を策定。楕円曲線暗号がRSA暗号と比較して、従来考えられていたよりも、数千倍程度相対的に高い強度であることが考えられると発表した。 現在、インターネットで最もよく使われている暗号方式はRSA暗号であるが、RSA暗号よりも短い鍵長で同等の強度を実現できることから、楕円曲線暗号に注目が集まっている。楕円曲線上の離散対数問題に基づく新技術として、1985年にKoblitzとMillerによって発表されたもので、すでにデジタルコンテンツ暗号規格に採用されている。 これまで両方式の強度比較は行われてこなかったが、今回、富士通と富士通研が実施。まず、すべての楕円曲線暗号に適用できる最速の解読法「ρ法」を用いて、統一環境下で網羅的に、一般的
鍵が漏れることも想定せよ――クラウド時代における「楕円曲線暗号」の必然性：クラウド時代の暗号化技術論（3）（1/3 ページ） エンジニアであれば、楕円曲線を暗号に用いる「楕円曲線暗号」という言葉を聞いたことがあるでしょう。今回は楕円曲線暗号の仕組み、そしていまこの手法が注目されている理由を解説します。 連載目次 前方秘匿性――楕円曲線暗号が注目された理由 第1回、第2回では安全な公開鍵暗号を解説しました。今回は「楕円（だえん）曲線暗号」を取り上げたいと思います。 楕円曲線暗号が発明されたのは1985年と比較的古く、ICカードなど組み込み系を中心に使われていました。近年、大手のWebサイトや、暗号通貨の「ビットコイン」などで採用され、普及が進んでいます。そのきっかけの一つとなった、ある事件を紹介しましょう。 2013年に、アメリカの国家安全保障局（NSA）がインターネット上のさまざまな通信を
新しい SSH 鍵を作るために ssh-keygen のマニュアルを読んでいたら、おもしろい記述を見つけました。鍵のビット長を指定する b オプションの説明です。 For ECDSA keys, the -b flag determines they key length by selecting from one of three elliptic curve sizes: 256, 384 or 521 bits. 「ECDSA キーの場合、b オプションは 3 つの楕円曲線サイズのいずれかを選択することでキーの長さを決定する」。ここまでは理解できるのですが、示された 3 つ目のビット長が 521 bit なんです。 「えっ、2^9 の 512 bit じゃなくて 521 bit なの？」エンジニアなら違和感を感じて、まずタイポを疑いますよね。自分もタイポだと思って Fedora で試
楕円曲線暗号 - Wikipedia
楕円曲線暗号（だえんきょくせんあんごう、Elliptic Curve Cryptography、ECC）とは、楕円曲線上の離散対数問題 (EC-DLP) の困難性を安全性の根拠とする暗号。1985年頃に ビクター・S・ミラー (Victor S .Miller（英語版）) とニール・コブリッツ (Neal Koblitz（英語版）) が各々発明した。 具体的な暗号方式の名前ではなく、楕円曲線を利用した暗号方式の総称である。DSAを楕円曲線上で定義した楕円曲線DSA (ECDSA)、ディフィー・ヘルマン鍵共有（DH鍵共有）を楕円化した楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有 (ECDH) などがある。公開鍵暗号が多い。 EC-DLPを解く準指数関数時間アルゴリズムがまだ見つかっていないため、それが見つかるまでの間は、RSA暗号などと比べて、同レベルの安全性をより短い鍵で実現でき、処理速度も速いこと
Pythonを使って試す・Bitcoinのアドレスで使われる楕円曲線暗号の仕組み - paiza times
Photo by BTC Keychain 秋山です。 先日、ブロックチェーンとPoWについて、Pythonコードを交えつつ解説する記事を書きました。 paiza.hatenablog.com 前回は、あくまで一つのプログラム上でブロックチェーンを作って、その中でPoWを行う…という話でした。今回は、複数人が取引を行う際に自分の取引が改ざんされてしまわないよう、自分の取引に署名をするときに扱われている楕円曲線暗号の話をメインに書いてみたいと思います。 ■秘密鍵と公開鍵とアドレスについて 皆さんは、Bitcoinのアドレスの形式がどんなものか知っていますか？ Bitcoinのアドレスは、Base58でエンコードされた、最初が1もしくは3で始まる文字列となります。アドレスの生成手順に関しては、以前こちらの記事で書いたので、興味のある方はごらんください。 paiza.hatenablog.com
ストーリー by reo 2009年07月16日 12時30分 「暗号解読」を読み終えたら次は何がおすすめでしょう 部門より 暗号学者ヨッパ・W・ボス (Joppe W. Bos)、マルセロ・E・カイハラ (Marcelo E. Kaihara)、トルステン・クラインユング (Thorsten Kleinjung)、アリエン・K・レンストラ(Arjen K. Lenstra)、ピーター・L・モンゴメリ (Peter L. Montgomery) の発表によると、112 ビットの楕円曲線上の離散対数問題の解を求めることに成功、新記録を出したという (スイス連邦工科大学、暗号アルゴリズム研究室の発表記事、本家 /. 記事より) 。 前回の記録は 109 ビット暗号の解読で 2002 年 10 月にさかのぼる。今回のプロジェクトはスイス連邦工科大学ローザンヌ校 (EPFL) にある200 台を越
この投稿はFujitsu extended Advent Calendar 2016の17日目の記事です。 なお、記事は全て個人の見解です。会社・組織を代表するものではありません。 はじめに Advent Calendarに投稿するのは初めて(そもそもQiita自体ほとんど使ったことない←)なのでコメントなんかはお手柔らかにオナシャス 今回は皆さんご存知の楕円曲線暗号についてご紹介したいと思います。また、ライブラリなどの使い方ではなく、暗号の数学的な理論をできるだけわかりやすくお伝えしたいと思います。 具体的な暗号方式の名前ではなく、楕円曲線を利用した暗号方式の総称です。なお、実際の暗号方式としては楕円ElGamal暗号などがあります。 今回は暗号方式の説明ではなく、楕円曲線自体の簡単な理論とイメージをお伝えしたいと思います。 Wikipediaによりますと 暗号における楕円曲線とは、ある
zk-SNARKs are zero-knowledge succinct non-interactive arguments of knowledge that allow a prover to convince a verifier of a statement without revealing details. They work by converting a function and its inputs/outputs into a quadratic arithmetic program (QAP) represented as polynomials. This allows a verifier to efficiently check a proof generated by the prover using techniques like Lagrange int
OpenSSH is a FREE version of the SSH connectivity tools that technical users of the Internet rely on. The OpenSSH Projectは24日(カナダ時間)、OpenSSHの最新版となるOpenSSH 5.7/5.7p1を公開した。OpenSSHはSSHプロトコルバージョン1.3、1.5、2.0を実装したセキュアコネクティビティツール。通信経路を暗号化し、安全なリモートログインやファイル転送、接続フォワーディングを提供する。 OpenSSH 5.7ではRFC5656で規定されている鍵交換(ECDH)やホスト/ユーザ鍵(ECDSA)における楕円曲線暗号モードの使用が可能になっている。ハードリンクオペレーションをサポートするためにsftp(1)/sftp-server(8)にプロトコルエ
zk-SNARKs are zero-knowledge succinct non-interactive arguments of knowledge that allow a prover to convince a verifier of a statement without revealing details. They work by converting a function and its inputs/outputs into a quadratic arithmetic program (QAP) represented as polynomials. This allows a verifier to efficiently check a proof generated by the prover using techniques like Lagrange int
JVNVU#92767028 Bluetooth 実装の楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有において公開鍵を適切に検証していない問題 Bluetooth デバイスのファームウエアや OS のドライバが、ディフィー・ヘルマン鍵共有において公開鍵を適切に検証していない場合、遠隔の第三者により、通信内容を取得される可能性が存在します。 暗号化処理の不備 (CWE-325) - CVE-2018-5383 Bluetooth では、楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有 (ECDH) 技術を基盤とした、機器のペアリングメカニズムを規定しています。 この方式では、ペアリングする両者がそれぞれ秘密鍵と公開鍵からなる鍵対を用意します。ペアリングを開始する際に互いの公開鍵を交換し、自分の秘密鍵と相手の公開鍵を使って、その後の通信に使う共有鍵をそれぞれが生成します。使用する楕円曲線暗号のパラメータについてはあらか
前に、このブログで、「あれほど好きだった数論が、今ではあんまり興味がなくなった」というようなことを書いた。 でも、そうは言ったものの、やっぱりあれだ、ときどき思い出したように、数論の入門書を読んじゃったりするのだね。 この感じはなんと言ったらいいだろう。初恋の女の子のことをたま〜に夢に見ちゃったりする、のに近いかもしれない。起きたとき、少し動揺する。日常生活では思い出すことが全くないのに、夢に不意に登場されたりすると、自分さえ自覚してない自分の中にある未練みたいなものと直面したみたいで、めっちゃ恥ずかしくなる。でも、少しだけ甘酸っぱかったりもするものだ。 さて、そんな初恋の子の夢みたいな後ろめたさで、最近読んだ数論の本が、Chahal『数論入門講義〜数と楕円曲線』(織田進訳、共立出版)だ。 この本は、書店の数学コーナーを見回ってるときにたまたま手にした本。ぼくは、自分の本が書店でどう扱われ
Jonathan UnderwoodChief Bitcoin Officer, bitbank Inc.; CEO Blockchain Daigakko Inc. at bitbank, Inc.
main : 2013/7/2(11:47) RSA RSA RSA RSA RSA RSA NIST RSA ............................................. E-mail: takenobu.seitou@boj.or.jp E-mail: shikata@ynu.ac.jp 17 / /2013.7 main : 2013/7/2(11:47) 1 ATM ATM IC DES AES Advanced Encryption Standard RSA 2011 RSA IC 1 RSA RSA RSA RSA 1985 Miller [1985] Koblitz [1987] RSA RSA ......................................................................... 1
概要 「楕円曲線暗号を用いた鍵交換」では、位数331の小さな群を使い、 テストのため、全部の点を書き出した。 今回は、位数1033の群を使い、「合意の点」以外の点は、必要になって初めて計算する。 秘密の係数を知っている正規のユーザとハッカーで、計算速度に差がつくことを実証するため、 今回は点にスカラーを掛けるとき、繰り返し二乗法を使う。 小さいといっても位数が1000を超えるので、 逆元の計算はbruteではなく、拡張ユークリッドを使う。 パラメータは次のとおり。 基礎となる有限群 mod 1049 楕円曲線 y2 = x3 + 5x + 109 位数 1033 曲線上の合意の点 ( 775, 359 ) 基礎となるメソッド とりあえず無限遠点はデータ上 (0, 0) としておく。 function ECCPoint( x , y ) { this.x = reduce( x , modu
楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有（だえんきょくせんディフィー・ヘルマンかぎきょうゆう、英: Elliptic curve Diffie–Hellman key exchange, ECDH）は、事前の秘密の共有無しに、盗聴の可能性のある通信路を使って、暗号鍵の共有を可能にする、公開鍵暗号方式の暗号プロトコルである。両者で共有した秘密の値はそのまま、あるいは何かしらの変換をかけて、共通鍵暗号の鍵として用いることができる。 ディフィー・ヘルマン鍵共有を楕円曲線を使うように変更した、楕円曲線暗号の一つである[1][2][3]。 プロトコルの内容[編集] アリスがボブとの間に共通鍵を構築したいが、2人の通信には第三者に盗聴される危険がある回線しかないものとする。まず、2人の間で使用する楕円曲線（つまり、有限体K、曲線を決定する3次式、ベースポイント、その位数などのパラメータ）を決めておく。そして
楕円曲線DSA - Wikipedia
楕円曲線DSA（だえんきょくせんDSA、Elliptic Curve Digital Signature Algorithm、Elliptic Curve DSA、楕円DSA、ECDSA）は、Digital Signature Algorithm (DSA) について楕円曲線暗号を用いるようにした変種である。 DSAとの比較[編集] 楕円曲線暗号で一般的に言われるように、ECDSAにおいて必要とされる公開鍵のサイズはセキュリティビット数のおよそ2倍であると考えられている。例えば、80ビットのセキュリティビット数（攻撃者が秘密鍵を取得するために 回の計算を必要とする）を得るために、DSAでは最低でも1024ビットの公開鍵が必要であるが、ECDSAでは160ビットの公開鍵で十分である。一方、署名のサイズはDSAでもECDSAでも同じであり、必要とするビット安全性の4倍のビット長を要する（80ビ
パブリックブロックチェーンにおける情報は、誰もが閲覧できることから、その秘匿性を担保することは非常に重要とされています。特にビットコインのようなお金に関わる情報の中身が簡単に分かってしまうことは避けなければなりません。それらの情報の暗号化のために公開鍵暗号方式を利用していることは、何度か述べています。そこで今回は、秘密鍵と公開鍵を結びつける重要な技術である「楕円曲線」を用いた暗号技術に関して紹介します。 秘密鍵・公開鍵まず前提として秘密鍵と公開鍵について知っておく必要があります。秘密鍵は本人にしか分からない鍵で、公開鍵は秘密鍵と対になる一般公開される鍵です。ブロックチェーン技術においては、公開鍵暗号方式における秘密鍵と公開鍵を、「電子署名」と呼ばれるデータ送信者を確認するための方法として使用します。 ブロックチェーンのセキュリティに必要不可欠な鍵「秘密鍵・公開鍵」 ブロックチェーンの送金を
概要 「楕円曲線暗号を用いた鍵交換」では、位数331の小さな群を使い、 テストのため、全部の点を書き出した。 今回は、位数1033の群を使い、「合意の点」以外の点は、必要になって初めて計算する。 秘密の係数を知っている正規のユーザとハッカーで、計算速度に差がつくことを実証するため、 今回は点にスカラーを掛けるとき、繰り返し二乗法を使う。 小さいといっても位数が1000を超えるので、 逆元の計算はbruteではなく、拡張ユークリッドを使う。 パラメータは次のとおり。 基礎となる有限群 mod 1049 楕円曲線 y2 = x3 + 5x + 109 位数 1033 曲線上の合意の点 ( 775, 359 ) 基礎となるメソッド とりあえず無限遠点はデータ上 (0, 0) としておく。 function ECCPoint( x , y ) { this.x = reduce( x , modu
楕円曲線 - Wikipedia
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。 楕円曲線のカタログ、示されている領域は [−3, 3]2 である。ただし(a, b) = (0, 0) におけるものは楕円曲線ではない）。 数学における楕円曲線（だえんきょくせん、英: elliptic curve）とは種数 1 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線を言う[1]。 楕円曲線上の点に対し、先述の点 O を単位元とする（必ず可換な）群をなすように、和(この和は和差積商の和のこと)を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体(数学者ニールス・アーベルより)である。 楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P2 の中の三次の平面代数曲線として見
日本ベリサインは、SSLサーバ証明書発行サービス「マネージド PKI for SSL」の対応アルゴリズムを拡大し、RSAに加え「楕円曲線暗号（Elliptic CurveCryptography：ECC）」と「デジタル署名アルゴリズム（Digital Signature Algorithm：DSA）」に対応する。 日本ベリサインは2月14日、SSLサーバ証明書発行サービス「マネージド PKI for SSL」の対応アルゴリズムを拡大し、これまでサポートしてきたRSAに加え、「楕円曲線暗号（Elliptic CurveCryptography：ECC）」ならびに「デジタル署名アルゴリズム（Digital Signature Algorithm：DSA）」に対応することを発表した。 ECCは、RSAに比べ、短い鍵長で高い安全性を確保できることが特徴のアルゴリズムだ。ECC 256ビットでRSA
自堕落な技術者の日記 : (小ネタ)楕円曲線暗号をなんとなく理解した気になるオススメのリンク4選 - livedoor Blog（ブログ）
やっぱり、楕円曲線暗号(Elliptic Curve Cryptography)はRSA暗号に比べて格段になんだかんだ難しいと思うですよ。 自分も勉強中なんですが、なかなか良い説明がなくて悶々としております。 jsrsasignの実装やビットコインを知る必要がある手前仕方なく。そんな状況の中、いろいろ見た中で、 結構オススメなリンクを4つ紹介したいと思います。 CloudFlare: A (Relatively Easy To Understand) Primer on Elliptic Curve Cryptography
楕円曲線暗号におけるPKI
楕円曲線暗号におけるPKI 2011年 9⽉26⽇ 筑波⼤学 ⾦岡 晃 PKIにおける公開鍵暗号⽅式 • 公開鍵暗号と⾔えばRSA暗号 – 公開鍵暗号の利⽤されているシーンでは、現在ほぼすべてRSA 暗号が使われていると⾔って良い – RSA暗号で使われる鍵のサイズは、現在1024ビットや2048 ビットが主流である • 楕円曲線暗号（ECC：Elliptic Curve Cryptography） – 楕円曲線暗号は、楕円曲線利⽤し、曲線上の点の演算により定 義される暗号⽅式の総称である – 楕円曲線上でDiffie-Hellman（DH）鍵共有を⾏う楕円DH （ECDH）⽅式や、楕円曲線上でDigital Signature Algorithm （DSA）を実現する楕円DSA（ECDSA）⽅式などがある。 • その他：ECMQV、ECIESなど – RSA暗号と⽐較し、鍵サイズが⼩さい
代数幾何学と楕円曲線論を勉強したいのですが - 私はこれから代数幾何か楕円曲線論の勉強を始めようと思っています。そこで、それぞれの... - Yahoo!知恵袋
代数幾何を本格的に勉強したいなら、可換環論のテキストを手元に置きながら学んでください。 たとえば 『復刊 可換環論 』 松村 英之 (著)、共立出版 『Atiyah‐MacDonald 可換代数入門 』、共立出版 がいいと思います。 代数幾何のテキストとしては、 『代数幾何学1～3』 R.ハーツホーン（著）、シュプリンガー 『代数幾何』 上野健爾（著）、現代数学の基礎、岩波書店 『代数幾何学講義』 マンフォード（著）、シュプリンガー がありますが、これらはスキーム理論から層・コホモロジーを使って本格的に代数幾何を展開しているため、（マンフォードはコホモロジーを使っていませんが）初めての場合なかなかとっつきにくく難しい感じがあります。 従ってこれより易しい 『代数幾何入門』 上野健爾（著）、岩波書店 『代数幾何入門 はじめての代数幾何』 梶原 健（著）、日本評論社 がお勧めです。付録に可換代
j次のブックマーク
k前のブックマーク
lあとで読む
eコメント一覧を開く
oページを開く
暗号の歴史と現代暗号の基礎理論（RSA, 楕円曲線）-前半- - ABEJA Tech Blog
暗号の歴史と現代暗号の基礎理論（RSA, 楕円曲線）-後半- - ABEJA Tech Blog
楕円曲線暗号アルゴリズムを理解する｜TechRacho by BPS株式会社
整数論専門院卒、非数学者です。 まずは 1. ガロア理論 2. 楕円曲線 の二つに..
有限体Fp上の楕円曲線'のパズル - mattyuuの数学ネタ集
ベリサイン、RSAよりも負荷が軽いECC（楕円曲線暗号）をSSL証明書に採用
楕円曲線のお勉強によい本 - hiroyukikojima’s blog
楕円曲線暗号のPythonによる実装その1（有限体とECDH鍵共有）
楕円曲線暗号方式の強度について - dwango on GitHub
楕円曲線暗号、RSA暗号との相対強度は従来の数千倍－富士通が解読実験
鍵が漏れることも想定せよ――クラウド時代における「楕円曲線暗号」の必然性
楕円曲線暗号に 512 bit は存在しない | はったりエンジニアの備忘録
Amazon.co.jp: はじめての数論: 発見と証明の大航海 ピタゴラスの定理から楕円曲線まで: ジョセフ・H. シルヴァーマン (著), Silverman,Joseph H. (原名), 治郎,鈴木 (翻訳): 本
楕円曲線暗号のサーバー証明書、導入第1号は「小悪魔女子大生のサーバエンジニア日記」
ベリサイン、商用で初めて“楕円曲線暗号”を採用したSSLサーバー証明書
200 台の PS3 で 112 ビット楕円曲線暗号の解読に成功 | スラド セキュリティ
楕円曲線暗号の超簡単な理論の紹介 - Qiita
楕円曲線入門�トーラスと楕円曲線のつながり
OpenSSH 5.7最新版登場、楕円曲線暗号に対応 | エンタープライズ | マイコミジャーナル
技術勉強会（楕円曲線暗号）資料
JVNVU#92767028: Bluetooth 実装の楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有において公開鍵を適切に検証していない問題
数と楕円曲線 - hiroyukikojima’s blog
楕円曲線セキュリティー
公開鍵暗号を巡る新しい動き：RSAから楕円曲線暗号へ
楕円曲線暗号、RSA暗号との相対強度は数千倍、富士通が解読実験
楕円曲線暗号 - faireal.net
楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有 - Wikipedia
Amazon.co.jp: はじめての数論: 発見と証明の大航海 ピタゴラスの定理から楕円曲線まで: ジョセフ・H. シルヴァーマン (著), 治郎,鈴木 (翻訳), Silverman,Joseph H. (原名): 本
伊藤哲史『整数論の最前線 楕円曲線の数論幾何』(PDF)
秘密鍵から公開鍵を生成するアルゴリズム「楕円曲線暗号」
楕円曲線暗号（ECC） - yōsei.fi ［妖精現実 フェアリアル］
ベリサイン、SSLサーバ証明書で楕円曲線暗号とDSAに対応