数学において、ゲーゲンバウアー多項式(ケーゲンバウアーたこうしき、英: Gegenbauer polynomials)または超球多項式 (ultraspherical polynomials) とは、レオポルド・ベルンハルト・ゲーゲンバウアー(英語版) (1849–1903) にちなんで命名された、区間 上で定義される重み関数 の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、ヤコビ多項式(英語版)の特殊事例である。 性質[編集] 次の母関数により定義される: 次の漸化式を満たす: 次の常微分方程式(ゲーゲンバウアーの微分方程式)を満たす: ロドリゲスの公式により次のように導出できる: 次の直交関係を満たす: ある角度の余弦を引数とする関数値について、次式が成り立つ: の場合がルジャンドル多項式に、 の場合が第二種チェビシェフ多項式に相