なぜ相関係数の範囲が-1≦r≦1か | おいしい数学

例題 2つの変量 $x$，$y$ のデータが，$n$ 個の $x$，$y$ の値の組として $(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，$\cdots$，$(x_{n},y_{n})$ のように与えられているとき，相関係数 $r$ に関して $-1\leqq r \leqq 1$ であることを示せ． Ⅰでの証明 コーシーシュワルツの不等式 $\displaystyle \left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)\geqq\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}$ を使うのでまずこれを示します． 関数 $f_{i}(x)=(a_{i}x-b_{i})^{2} \ (i=1,2,\cdots,n)$ を $i=1,2,\cdots,