コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明 | 高校数学の美しい物語

任意の実数 ai,bia_i , b_iai​,bi​ に対して， (a12+a22)(b12+b22)≧(a1b1+a2b2)2(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≧(a1b1+a2b2+a3b3)2 (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) \geqq (a_1b_1+a_2b_2)^2\\ (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2) \geqq (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2 (a12​+a22​)(b12​+b22​)≧(a1​b1​+a2​b2​)2(a12​+a22​+a32​)(b12​+b22​+b32​)≧(a1​b1​+a2​b2​+a3​b3​)2 という不等式が成立する。 より一般に，任意の正の整数 nnn に対して， (∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)≧(∑i=1naibi)2

[abrahamcow]

“コーシーシュワルツの不等式”

[teppodone]

“2次方程式 ∑(aix−bi)2=0∑(aix−bi)2=0\sum(a_ix-b_i)^2=0 を考えると，この式の左辺は非負であり，方程式の解は多くても1つである。つまり，この方程式の判別式 DDD は0以下である。”[院試][math]