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閉包作用素でみる数学的構造
$$\newcommand{set}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{setm}[0]{\middle|} $$ 数学の様々な分野で登... $$\newcommand{set}[1]{\left\{ #1 \right\}} \newcommand{setm}[0]{\middle|} $$ 数学の様々な分野で登場する「閉包」という操作があります. これは部分集合を拡大しある意味で「閉じた」集合にする操作であり, 閉包作用素という概念に一般化されます. 閉包作用素のもつ特定の性質は位相構造や代数的構造といったいわゆる数学的構造と非常に深いかかわりをもっていて, 面白いものだと標語的に 位相 $+$ 代数 $=$ 順序 といえる事実が成り立つことを示すことができます. 本稿では位相的・代数的閉包作用素に関する基礎的な理論からこのような結果が得られることを紹介します. 前提知識としては位相空間の定義, 初等的な抽象代数学, 集合と論理といった大学数学の初歩のみを仮定します. 以下の基本的な記号・定義は概ね[2]に拠ります. 数学で