円周率が3.05より大きいことの7通りの証明 | 高校数学の美しい物語

「円周の長さよりも内接する正多角形の周の長さのほうが短い」ことを利用して，円周率が大きいことを示します。 半径 111 の円の円周の長さは，2π2\pi2π である。 また，この円に内接する正八角形の一辺の長さは，余弦定理より 1+1−2cos⁡45∘=2−2\sqrt{1+1-2\cos 45^{\circ}}=\sqrt{2-\sqrt{2}}1+1−2cos45∘​=2−2​​ よって，82−2<2π8\sqrt{2-\sqrt{2}} < 2\pi82−2​​<2π つまり 42−2<π4\sqrt{2-\sqrt{2}} <\pi42−2​​<π という円周率の評価を得る。左辺を計算すると 3.061...3.061...3.061... となるので，円周率が 3.053.053.05 より大きいことが証明された。 定番の手法で知っている人も多いでしょう。試験上では計算機が使えな

[konishika]

ふむー