リプシッツ連続の意味、他の連続性との関係 - 具体例で学ぶ数学

1～4の証明は後述します。まずは普通の連続と一様連続の定義を復習します。 普通の連続： $x=x_0$ で連続とは、 $\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ が成立することを言います。また、考えている区間の全ての点で連続であるとき、$f(x)$ は連続関数であると言います。 一様連続： 関数 $f(x)$ が一様連続とは、 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $\delta >0$ が存在して、 $|x_1-x_2|<\delta$ なら $|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$ が成立することを言います。 リプシッツ連続： 関数 $f(x)$ がリプシッツ連続であるとは、 任意の $x_1,x_2$ に対して $|f(x_1)-f(x_2)|\leq k|x_1-x_2|$ を満たすような定数 $k$ が存在

[zou3dazou]

“・|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2||f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2||f(x_1)-f(x_2)|\leq k|x_1-x_2| となる定数 kkk が存在する ・関数上のどの点でも、傾き ±k±k\pm k の直線を引くと、関数のグラフはその間におさまっている”