コンパクト性、開被覆 - 大人になってからの再学習

■キーワード：集合、位相、コンパクト、被覆、開被覆 集合、位相の学習で「コンパクト」というキーワードが登場する。 「位相空間の部分集合について、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことをコンパクトと言う。」 こういわれても、すぐにはピンとこないので、「コンパクトな集合」≒「有界な閉集合」と文字通り覚えるのがてっとり早い。とりあえず、そうやって飲み込んでしまうというのも一つの方法。 頑張って図を使って説明すると次のような感じ。 ■まずは開被覆の説明。 位相空間Xの部分集合Aと、Oλ。 Oλを集めると次のようになる。 これがAを覆うとき、{Oλ|λ∈J} をAの「被覆」という。 Oλが「開集合」であるとき、「開被覆」という。 ■続いてコンパクトの説明。 開被覆は無数にある。 このなかのどれを選んでも、有限個のOλを選んで被覆できる。 このとき、AはXの「コンパクト集合」である。