統計学復習メモ10: なぜ共分散行列の固有ベクトルが単位主成分なのか - Weblog on mebius.tokaichiba.jp

かつてＪＲ横浜線 十日市場駅近くのMebius (CPU:Pentium 150MHz)より発信していたウェブログです。 前項に書いた通り、主成分分析における主成分の単位ベクトルは、共分散行列の固有ベクトルとして求まる。そのこと自体に昔から興味があったので、主成分分析の復習ついでに考察してみる。 まず、最小２乗法で考えてみる。簡単のために２次元で考える。ｎ個のサンプルデータを とし、第１主成分の単位ベクトルを とすると、Xに対応する主成分軸上の第１主成分Yは であり、そのYを元の座標系に戻したものX~は である。このことは、高校で習った一次変換を思い出してやってみるとわかる。このX~が、Xを第１主成分の軸上に射影したものであり、これとXとの距離が、最小にしたい誤差ということになる。その誤差Eを、Xを直交座標とした場合の距離の２乗とすると、 であり、p12+p22=1に注意すると、これは と

[samayotta]

疑問に思っていたのはまさにこれですね。後半の式を手元で写してみたら確かに固有値の定義に戻っている。なるほど。

[nwpct1]

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[relattori]

[分散共分散行列] [証明] #li