自然対数は、理論研究から実用まで幅広く用いられるものであるため、略称の表記があります。しかしながら、逆に応用範囲があまりに広すぎるため、バリエーション、方言のような状態ができてしまっていて、少々混乱します。 まず最初は、「ＬＮ」です。これはもちろん「natural logarithm」の略で、底の「e」を省略して続けていきなり真数を書き、これで自然対数であることを表します。 以上から、「ＬＮ」が用いられているときは、自然対数であることはまちがいないが、「ＬＯＧ」が用いられている際は、常用対数と自然対数の両方の可能性があるので、ちょっと注意しなければならない、ということになります。 一般に「ＬＯＧ」を常用対数で用いるのは、（当然10進数の）実測データを対数で管理する化学や工学などで多く、「e」を底とする自然対数で用いるのは、理論的な計算の機能として対数を駆使する理論物理や（当の）数学が多いと

というタイトルですが、まだ出てきたばかりですので、実際のところ、それがいったい何なのか、さっぱり分かりません。 「自然対数とはなにか」ということは、要は「ネイピア数とはなにか」ということですが、ネイピア数がわかりにくいのは、それが純粋に計算の世界の中だけに住んでいる数で、他の重要な無理数のように、なにか具体的に思い浮かべることのできるイメージと結びつくものがないからです。 これがたとえば「円周率」であれば、円とその直径の比率、「黄金比」なら黄金長方形の辺の比率、「平方根」であれば、正方形の対角線の長さ、といった具合に、具体的に思い浮かべられる分かりやすいイメージを持っていますが、ネイピア数にはそういう具合のいいものがありません。かろうじてそれが現実世界の中の具体的な要素に引っ掛かっているのが、「金利」という、これもびっくりするような突拍子もないところなのです。 もともとネイピア数は、（また

フィボナッチ数列（Fibonacci numbers）は、「項の値が前二項の和になる数列」 というのが定義です。ここまでみてきた等差数列、等比数列は、いずれも、前の項に一定の値を足したり掛けたりすることできる数列で、隣の一項と自分の2項間の関係（隣接二項）で定義されていました。これに対して、フィボナッチ数列は、隣の二項と自分自身の計3項（隣接三項）で定義される点が大きな特徴です。これを漸化式でみると、以下のようになります。 となります。フィボナッチ数列は、こんなふうにとってもシンプルな定義、シンプルな漸化式ですが、いろいろ調べていくと深遠で神秘的な性質がたくさんあり、その性質が深く研究されています。また、フィボナッチ数列は、なぜか自然界の生物の形状などにも多数発見されていて、その代表例は、木や草に葉っぱが生えるときの生え方（葉序）です。フィボナッチ数列の「フィボナッチ」は、イタリアの数学者

しばらく数列の基本的な概念や用語のおさらいが続きます。ここまで、数列の項は、初項から始まって n 項めで終わる有限個のものでみてきましたが、「自然数」や「偶数奇数」の数列のように、先がきりなく無限に続くものを考えることもできます。前者を有限数列と呼ぶのに対して、無限に続くものを無限数列といいます。 この無限数列について、無限に項が続いた先がどうなるのかを想像するのは、数学者ならずともたいへん興味をそそられるテーマです。それには、いくつかのパターンが考えられますが、等比数列 を使うと、このいろいろなパターンが手軽に観察できますので、挙動を確認してみましょう。

一定の規則性をもって並べられた数列の項を定義する仕方は、２通りの考え方があります。一つめは最初の項（初項）との関係において個々の項を定める方式で、これが先に学んだ「一般項」です。もうひとつのやり方は、自分の隣の項との関係で定める方式で、この関係を表現した式を 「漸化式」 といいます。 「漸化式」というと、いかにも難しげな印象ですが、英語の相当する用語で 「recurrence relation （繰り返される関係）」 と聞くと、比較的わかりやすい感じがします。ここまで学んだ「等差数列」と「等比数列」を例に、この漸化式と一般項を比べてみましょう。 一般項の方は初項との関係で、漸化式は隣合う項との関係で、それぞれ項が定義されているのが確認できると思います。 両者を見比べると、「差が一定」「比率が一定」という数列の概念的な性質は、漸化式の方にストレートに表現されていて、こちらの方が簡単で分かりや

合同式とともに、「余り付き割り算」と縁の深い計算テクニックに、ユークリッドの互除法（Euclidean algorithm） があります。 ある2つの数の最大公約数（GCD）を考えるとき、2つの数はその最大公約数で割り切れるという関係において合同ですから、合同式の定義から、両数の差（あるいは何度も引けるのであれば一方を一方で割った余り）の中にもそのGCDは含まれています。ユークリッドの互除法は、割り算の余りのこの性質を使って、2つの数の最大公約数を手早く求める手法で、ユークリッドは幾何の原論と同じ、あのユークリッドです。 最大公約数を求めるとき、通常であれば2つの数を眺め、偶数かどうかからはじまって、倍数の判定法も活用しつつ、共通で割れそうな数を当てずっぽうで探しながら細切れに刻んでいく、というやり方をします。ですが、たとえば以下のようなケースでは、一見した限りではうまく最初の切り口がつか

前回、剰余演算の考え方を応用して、グレゴリオ暦の日付を入れると「曜日」を出力する不思議な「ツェラーの公式 （Zeller's congruence）」を紹介しました。どんな仕組みになっているのでしょうか？ まず、それぞれの変数の意味は上のとおりです。このとき面白いのは、月を3月の前で切って、3月から始めて2月で終わるという考え方にするところです。1月と2月は前年の13月、14月と数えて、「3月から14月まで」とします。たとえば2011年の1月であれば、2010年13月というデータを入れるのです。 これは、閏年の調整日が12月の末日ではなく、2月の終わりに入っているところから来たものです。前回、閏年の2012年の影響は、当年の2012年ではなく翌年の2013年に現れているところをみました。これをもっと細かくみれば、当年の3月以降からズレていることになりますので、3月からはじめて2月で終わる、

ところで、ここまで循環小数や10進法／2進法について見てきた中で、黒子として中心的な役割を果たしている、ある計算の存在が浮かび上がってきます。それは「割り算」、わけても「余りのある割り算」です。 たとえば、有理数と循環小数では、分子を分母が割り切れずに、余りが元の値に回帰する地点が存在するために、循環節が無限に繰り返されていました。また、10進法／2進法の位取り記数法では、束ねる単位の基数から割り切れずにあぶれた余りが、各桁の値として次々に取り残され、表に浮かび出ることで、数全体のボリュームがみごとに表示される仕掛けです。「10進法と2進法の切り替え」とは、この割る数と余りを一回バラして別の体系へと組み換える作業そのものでした。10進法が0から9までの数字を使うのは、10で割るときの余りがその10パターンだからであり、2進法で使う数字が0と1の2つしかないのは、2で割る割り算の余りが0と1

前回までの内容で、10進法の小数を2進法に変換すると、もとは有限小数なのに循環小数になるケースがあること、そして、それがコンピュータで扱われるときに演算誤差が生じる可能性があること、についての基礎的な理解は得られました。が、「10進法と2進法の変換」という点からするとまだやり残している部分があります。それは、最初に循環小数を与えられたらどうするか、という課題です。ついでですので、こちらも簡単にみておきましょう。 上の図をみてください。このうち（1）と（2）については対応済みで、（2）で10進法の有限小数を2進に変換すると循環小数になってしまうケースがあるのでした。ここで見るのは（3）と（4）のケースで、変換元が10進、あるいは2進の循環小数の場合です。 分数法Ⅰ～10進法の循環小数を2進法に変換する これまで扱ってきた10進／2進の変換方法自体は、もとの構造式を変形しただけの基本的なもので

整数のときとは、入れ子の向きが逆なので、入れ子の深いところから計算するb）の矢印が「2進から10進に戻す」、外側からのa）の方の向きが「10進から2進を作る」フローになります。a）の向きでは、もともと各桁値に1/2を掛けて2進小数が構成されていますので、それを1/2で割り戻す（＝2倍する）ことで、小数値が1を超えて1を引けるようであれば1を外し、なければ0を置いてそのまま次に進む、というのが式から読みとれるところです。 整数で検証した、ウォーターフォール状の変換図も作ってみましょう。赤字の部分を入れ替えることで他の例でも計算できます。また「1/2」を交換すれば別のn進法に切り替えできることも整数のときと同じです。 上の小数の変換手順では、＜2進→10進＞で「1/2を掛ける」とあるのは「2で割る」、＜10進→2進＞で「1/2で割る」は「2を掛ける」のといっしょです。従って＜2→10＞で整数で

ここで有理数と無理数について整理しておきます。整数の分数（比-ratio）で表せる数が有理数（rational number）で、分数で表せない数が無理数（irrational number）です。 整数、有限小数と、無限小数のうちの循環小数は有理数で、分数＝有理数です。また無限小数のうち非循環小数は無理数で、無理数＝非循環小数です。分類を図に整理すると、以下のようになります。 有理数・無理数の「理（ratio）」は、「合理的」の意味ではなくてここでは「比」の意味で、ほんとうは「有比数・無比数」という名前にした方がよかった、無理数は「無理な数」のことではなくて、れっきとした（合理的な）数のひとつです、というのは、この説明のときによく言われる話です。 また、有理数と無理数をあわせたものが実数（real number）です。実数があるからには、そうでない数もあるということで、それがいわゆる虚数

小数のうち、有限小数と（無限小数のなかの）循環小数は、分数に変換することができます。そのやり方を復習しましょう。 まず、有限小数は、0.3 → 3／10、0.567 → 567／1000 のように、小数の部分を、それを括れるだけの10の累乗で割ってやれば簡単に分数に直せます。次に、循環小数は以下のような少々トリック的な方法を取ることで、分数に変えられることは、覚えている方も多いと思います。 では、無限小数のうちの残り、非循環小数はどうでしょうか？非循環少数は分数に変えることはできません。このことは、逆に分数（すなわち整数と整数の比）の側からみたときに、整数を整数で割ると、割り切れて有限小数で終わるか、割り切れずに循環小数になるかのどちらかにしかならない、というところから確認されます。この話については、あとでもう一度考えます。 無限のマジック ところで、循環小数を分数に変換する上記の方法は、

対数と直接の関係はありませんが、その中ででてきた累乗根と関連の深い内容として、最後に相乗平均（または幾何平均）という考え方をとりあげます。 相乗平均とは掛け算した積の平均で、対象データを乗じた値の累乗根で定義されます。これに対し、一般に平均と呼ばれる和の平均は相加平均といいます。相乗平均は幾何平均（ＧＭ：Geometric Mean）ともいい、これに対して相加平均は算術平均（ＡＭ：Arithmetic Mean）ともいいます。 なぜ「幾何」平均？ 相乗平均がなぜ「幾何」の平均と呼ばれるのかについては、以前掛け算と幾何の関係について書いた際にも触れました。ここでは参考として以下の図も提示しておきます。この図は、「面積」と「体積」について、どのように均等に辺を割り当てれば、もとと同じ面積体積が作れるかを示したもので、それぞれ二乗根（平方根）、三乗根（立方根）の幾何平均となります。 幾何平均はど

前回みたように、対数関数と指数関数はちょうど裏返しの関係にあります。このような関係にある関数を逆関数（inverse function）といいます。 逆関数では、一方の関数を方程式として x について解くともう一方の関数の式になる、という関係にあります。対数関数と指数関数は互いに対数と真数を入れ替えたものですので、両関数においてもこのことは成立します。 また、グラフでみると、逆関数のふたつのグラフは、y=x という直線グラフを折り線にして折るとぴったり重なり合うという特徴があります。あるいは、y=x の直線グラフのところに鏡を立てて鏡の向こう側を見ると、自分の姿が前後左右入れ代わって見える、という表現でもいいかもしれません。

指数の拡張によって、指数についても滑らかな値を取れるようになりましたので、三角関数のときと同様に、指数と真数の関係を関数化し、指数関数、対数関数として座標軸上にグラフを書くことができます。 ＜対数関数のグラフの特徴＞ y は指数＝対数を示すので、y=0 のとき、x=1 を通る。これは 底の0乗が常に1 だからである x と y は真数と指数（常用対数のときは桁数）の関係にあるので、真数 x の増加に対して、指数 y はきわめてゆっくりとなだらかに増加する関数になる マイナスの指数の定義 から、 y が負の値をとってどんどん小さくなると、 x は限りなく小さくなり、0に近づくが、負の値にはならない このグラフは、「真数と桁数の関係」を述べた記事の真ん中の図をそのまま座標平面上にプロットしたイメージです。真数である x の値が大きくなればなるほど、対数 y の増加の勾配は頭を抑えられ、同じ幅の

引き続き対数計算の実際例を考えます。今回はちょっとした応用問題です。以下の数をみてください。この数は計算すると何桁の整数になるか、言い当てることができるでしょうか？ もちろん対数のコーナーですから、きっと対数を活用すると、簡単に計算できるかもしれない、という例題です。ずいぶん大きな数になりそうですが、このくらいになると電卓でも桁が振り切れてしまってそのまま力技で押してもお手上げかもしれません。 この例を考えるのに、まずはもっと簡単な数で、原理を整理しておきましょう。 さて、この数は何桁でしょうか？見てわかりますね、３桁です。今この数が３桁であることを、対数を用いて確認する方法を考えます。 まず３桁の数であるということはどういうことか。３桁の数であるということは、おおまかにいえば「100よりは大きく、1000よりは小さい」ということです。

現代では個々の対数の値は、計算機を使って簡単に知ることができますが、計算機のなかった昔には、「対数表」（logarithm table）というものを参照するのがふつうでした。対数表は、諸種の方法で苦労して割り出した個々の対数の値を一覧表にまとめたもので、昔はさかんに作成、出版されていました。現在でも、資格試験などで対数を扱うときに、計算機の持ち込みが禁止される代わりに対数表を渡されることがあるようですので、読み方くらいは承知しておきましょう。 対数表にはいろいろなパターンのものがありますが、最もよく見られる形式について見ていきます。以下はその一部を抜粋したもので、掲載されている対数が常用対数の、常用対数表です。 この表の左と上に並んでいる数値は真数を示し、左列がその小数点１位まで、上の行が小数点２位の値を示しています。そしてその組み合わせで指定された真数に対する常用対数の値が内側に提示され

前回、対数は指数と同じであり、指数そのものにスポットライトをあてて専門でもっと深く研究するために、累乗する元の数の右肩から取り出して、単独表記したものを特別に対数という別名で呼ぶ、という話をしました。ただ、数字だけ取り出すと、ふつうの数と区別がつかないので、三角比のときと同じように、専用の名札書きを貼って、指数であることの属性を持ち回れる状態にする、ということです。その専用の名札が「ログ何々」というものですが、では、その単独の数値として表記する際の書き方を具体的にどうするのか、さっそくそれをみていくことにします。 くり返しになりますが、対数は、累乗の指数を単独で取り出したもので、これが対数の実際の数値（名札の中身）になります。、その右側の部分が対数の表記、「名札」の部分になりますが、まず「log」は、中身の数値が「対数＝指数」であることの宣言です。その次に書かれた値は、指数表記の累乗される