Hodge star operator!!

前回は、内積をＶからＶ*への写像と見る方法について説明した。 ｎ次元空間では、ｋ階の外積代数は基底の数がnCk個のベクトル空間であった。 また、ｎ-ｋ階の外積代数も基底の数がnCk個のベクトル空間であった。 どうやら、この二つの空間の間には同型対応が取れそうである。どうやって？ それには、拡張された内積を使えばいい。 Ｖをｎ次元ベクトル空間とし、a∈Ｖ∧^k、b∈Ｖ∧^(n-k)とする。当然 a∧b = c e1∧e2∧e3∧...∧en となり、普通cはゼロになるが、aとbが互いに共通部分のない基底を持っているとc≠0となる。 aを固定すると、c∈Ｒはbの関数c(b)となる。 ところで、ベクトル空間の上の線型な関数は全て内積によって与えられる。 bの属する外積空間もまたベクトル空間であるから、cもまた、あるベクトルa'とbとの内積として与えられる。 問

[z0rac]

ホッジ作用素。外積≠クロス積。