整数問題①a、bを整数とする。（a、b）＝１のとき、ax＋by＝１を満たす整数x、yが存在することを示しなさい。 - という問題なの... - Yahoo!知恵袋

(a,b)=1ですが、まず(a,b)とは「aとbの最大公約数」という意味です。 最大公約数が1ということですので(a,b)=1は「aとbは互いに素」ということになります。 次に証明ですが、面倒な方法しか思いつきませんでした。 ax+by=1をy=(1-ax)/bという形にします。 1-axがbで割り切れるようなxがあればそれがこの方程式の解になります。 まず、以下の補題を証明します。 補題 0<i<b, 0<j<b かつ、i≠j の任意のi,jについて ai≠aj (mod b) である。 （ ai を b で割った余りと aj を b で割った余りは異なる） 証明 今、i≠j で ai＝aj (mod b) であるような i, j が存在するとします。 すると、ai-aj ＝ (i-j)a は b で割り切れることになります。 a と b は互いに素であるため、i-j は b で割り切れ

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数学教員要請を目的とした玉川大学通信教育部数学コースのレポート課題の丸投げです。