カール・フリストンの一般化勾配降下法 (generalized gradient descent) について

(1) 乾敏郎・阪口豊『自由エネルギー原理入門（2021）』p.36 に「 は平均の運動に対応し， は運動の平均に対応する」というミステリアスな一文とともに期待値についての勾配更新式(1)式が登場する．しかし，同書の文中では上式の導出について一切触れられておらず，あたかもこの一般化された勾配更新式が天から降ってきたかのような印象を与える．そこでこのノートでは，この印象的な（説明不足な？）勾配更新式(1)式とミステリアスな一文の解読を試みる． この一文を素直に読むと と は一般には一致せず，等号 が成立する経路でのみ，自由エネルギーの経路積分（変分作用）の最小化が起こる．そもそも経路積分はファインマンが量子力学を自分なりのやり方で理解するために開発したツールだった．変分作用の最小化を与える経路が量子力学的なゆらぎを持たない古典力学解と一致することを思い起こせば，等号 が成立する経路は，確率変