数学の定義は本当に厳密で一意なものと言えるのか気になりました

たとえばユークリッド幾何学での直線は「幅をもたず、両側に方向に無限にのびたまっすぐな線」だそうですが、これも「幅」とは？「(幅を)持つ」とは？両側とは？「方向」の定義は？「無限(限りが無く)」とは？そもそも「限り」って何？「のびる」とは？「まっすぐ」とは？「線」と結論づけるのは循環論法じゃないの？ と突っ込む人にとっては厳密ではなくなっていませんか？ ここで、これらの言葉の意味は、国語辞典に載っている意味と同じものだよなどといおうものなら、それこそ数学の厳密性を否定したようなものになってしまっていると思います。 たとえば「方向」を調べたら「向くこと」とでます。これを調べると「物がある方向を指す」というふうに出ます。これは循環論法に陥ってますし、「物の正面があるものに面する位置にある」という別の語釈もありますが、物とは？正面とは？面するとは？位置とは？となります。これを繰り返せば結局どこかで

[kirakking]

過去まさにその危惧を持った数学者達により数学基礎論という分野が誕生しました。現代において数学とは、述語論理により厳密に定義された数式に基づく記号操作と、その上のメタ論理に分かれています。調べてみてね。

[otoan52]

好きなんだろうし向いてそうだけど、勉強してない感じ。数学も過去からの積み重ねがすごい。ちゃんと学ぼう。数学ガールシリーズにもゲーデルの不完全性定理がテーマのとかなかったっけ？

[dalmacija]

言葉の話をしていて数学の話しをしてない人

[WildWideWeb]

多分、数学は関係なくて、前提知識に対する相互信頼が言語運用のレベルまで降りても真に確立しているかみたいな話をしたいんじゃないかと思った。

[type-100]

「数学の哲学」で扱われる内容やね　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6　専門用語であってもその定義を述べるための言葉自体が一意になり得ないのでは、というのは正当な疑義でしょ。

[Gragra]

数学知らんだろこの人。頭の中で独自理論を展開してないで先人が積み上げたものを学べよ。数学基礎論なんてまさにそういうことを扱ってるんだからさ。

[serio]

数学というのは、特定の公理の範囲内において論理的矛盾のないシステム。線とか方向とかの定義を変えて別の公理系を立てて、今の数学とはまったく異なるシステムを創出しても構わんぞ。「形式主義 (数学)」でググれ。

[ROYGB]

直線を実在の物からの類推で考えるのは古い数学で、今は普通の意味での線とは無関係。ヒルベルトは、点、線および平面ではなく椅子、机およびビールジョッキという用語を使っても成り立つとした。

[turanukimaru]

逆だ逆。「幅とは何か分からない」から「幅は存在しない」。「方向の無い線はない」から「方向は有る」。「長さとは何か分からない」から「直線を区切って初めて長さになる」んだ。自然言語じゃなくてロジックがある

[c_shiika]

意味の循環加水加温温泉みたいな言語を使っている我々だが、意味の源泉かけ流し温泉みたいな言語は成立するのだろうか。

[cartman0]

ゲーテルの不確定性原理まんまの話なので論理学の完全、不完全を調べたほうが早い

[tomo31415926563]

その疑問から生まれた学問、数学基礎論勉強しよう

[yetch]

笑わない数学観ただけなんだけど屁理屈みたいな言葉遊びから別の数学体系作られたりしてるから好きなだけ自分の世界で数学やったら良いと思うよ。

[fraction]

増田の嫌いな抽象数学の良い点は一定の訓練さえ受ければ直線をある環上でax+by-cの生成するイデアルと考えるか、幅のない真っ直ぐに伸びた何かと考えるか個人によって違っても互いに間違いなくコミュ取れるところ。

[hom_functor]

19~20世紀にかけてある程度決着した話。形式的な記号操作という土台があるので、"意味"のような底なし沼に踏み込む必要はないし、(記号の略記法としての)便利な自然言語を放棄する必要もない

[ounce]

子供の屁理屈じみた問いの立て方というか、あまり数学に敬意を払っているとは思えなかった。

[Insite]

数学よりも低レイヤーに自然言語を置くことを前提とするから、拗れたことをいう人になっている

[s2kw]

数学は厳密さを獲得したのに、自然言語の曖昧さのハンマーをわざわざ用いて、厳密さをぶっ叩いてる感じ。嫌いじゃないけどそのハンマーじゃ砕けないよ。

[usurausura]

実数の可算モデルとかの話じゃなかった。なお弟子が伝えるヒルベルトの「机、椅子、カップ」発言は林晋先生によると本人のノートに痕跡がある模様https://shayashiyasugi.com/wwwshayashijp/HistoryOfFOM/HilbertNotebookProjectHomepage/index.html

[akasaka_34]

数学を自然言語で表現することは数学の一部ではないのでは？

[yamamototarou46542]

文脈依存も差し当たり数学者のコミュニティで一致していれば困らないんだろうな／ここで賢しらに調べればわかるだろ、と言ってるやつよりは考えて自分の疑問を形とすることができる人の方が俺にとっては遥かに偉いな

[peketamin]

まーそういう前提を置いたら、という話ですし…どう捉えたら発展的に理解が進むか、という都合に合わせてやればいいけど車輪の再発明から逃れるのはとても難しそう

[businessart]

興味を持って色々読んでいれば不完全定理に自然に行き着くものなのに。全て検索すれば見つかる時代に知らないのは、ある程度の教養と地頭がないとどこにも行けつけないってことなのかな。

[Lhankor_Mhy]

そうなの？　もっと数式とかであらわされてるのかと思ってたよ。日本語に翻訳可能な自然言語で定義されてるんだ？→『ユークリッド幾何学での直線は「幅をもたず、両側に方向に無限にのびたまっすぐな線」』

[valinst]

ツリーの言葉をそのまま借りると「語の意味を感覚、心象に基礎づけようとする方法が誤っている」のだよね

[hobbling]

気になるのは自由、徹底的に調べてくれ

[smeg]

1+1=2を証明しろと言われてZFの公理系から始めて証明するやり方よくあるじゃない？証明自体はよく理解できるのだが、それが自分の知っている（と思ってる）1+1=2とどう関係するのかというところがもやっとしてるんだよな

[DHK41s]

まさに当たり前に使っていたものを疑う姿勢から、数学は曖昧な部分はなく完全・無矛盾性を説明をするためのヒルベルトプログラム、公理的集合論の発展、最終的にゲーデルの不完性定理に行き着くのは教わった。

[honma200]

とりあえず長い。公理なんかは厳密か一意は分かんないはず。やってるうちに厳密性とかが疑われるようなのはより厳密にするように言葉とかの再定義が行われるんじゃないかね

[pixmap]

イデア論とは違うレベルで、数学基礎論よりもあとに、言語哲学で本気で議論されている話題。ソール・クリプキの「ウィトゲンシュタインのパラドックス」を勧める。

[short13]

この疑問は学生時代に自分も抱いた。その疑問に何ヶ月も付き合ってくれた准教授には本当に感謝している。とてもよい大学生活だった

[borerere]

ある男は破滅の運命に囚われていましたがその運命から逃れる道を見つけ出しました。しかし彼がその運命から逃れることは別の運命によって定められていた。別の運命から逃れられたとしてもまた別の運命に囚われる

[aaaaaaaaaaa]

この場合はまず定義が先にあって文字の説明はその定義を表現しているにすぎない。言葉で定義が成り立ってるわけではないので一意に取れなかったらカジュアルに言葉の方を変えていいしそれで定義が変わることはない

[ugt26]

岡潔の境地に達すると数学は情緒になる

[tokyocat]

“結局相手も同じ常識を持っているという不確かな信念によりかかっている、甘えている点で、数学の記述もまた完全に厳密で一意というわけではないのかなという気がしてくるのです” 　ーーたしかに！

[cvtbgspuda]

長くてchatgptに要約投げるのも面倒。タイトルだけなら一意にするために決められた範囲で定義してるんじゃないのと思いました。

[moshimoshimo812]

この人が呈している疑問は、どれもかなり厳密に定義されている気がするので、単に知識の問題では。

[t_trad]

質問主意書に全て「○○の意味するところが必ずしも明らかでないため」無回答を決め込む内閣答弁書みたいなことしておる

[morimarii]

そんなことぐらいは１００年以上前の人間も考えてるよ。。。

[zeptometer]

こういう議論は数学基礎論をやるうえで大事なんだけど、数学基礎論そのものというよりは論理学の哲学の範疇のように思う。数学基礎論の黎明期から真面目に議論している人はいるんじゃないかなあ。知らんけど