Urysohn の距離化定理とその周辺 その 1 - CommonNoun’s diary

この記事は春のつどいと先日のクリスマスセミナーで話した内容を書き起したものの前半です。定理を証明します。後半では(反)例を挙げます。Urysohn はふつうドイツ式で「ウリゾーン」と読まれるようですが私はロシア式で「ウリソーン」と読んでいます。この記事は主に寺澤順『トポロジーへの招待』を参考に書かれました。 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 距離化定理について述べるにあたって，「距離空間」と「距離化可能空間」は異なるということに注意しておく．距離化可能空間には確かにその位相を定める距離が存在するが，それがどんなものとは指定されていないからである． 位相空間が距離化可能，すなわちそれに同相な距離空間が存在するような空間だからと言って，その上の実数値連続関数が一様連続かどうか，点列が Cauchy 列かどうか，部分集合が有界かどうかなどが決まるわけではない． 距離空間 において， に