積分の意味 - hiroki_f’s diary

ふと、積分をどう定義するかが気になって、杉浦光夫の「解析入門 (1)」の積分法の章を開いてみた。 そしたら、§1 積分の意味 一巻p208に しばしば積分は微分の逆演算として捉えられているが、これは限定的な意味でしか正しくない。特に多変数関数でが導関数f'(x)は行列値関数となるが、このf'(x)を積分しても元の実数値関数になるわけではない。また積分を微分の逆と考え、積分法を微分法に還元するような考え方では積分によって初めて定義される量(例えば面積)について一貫した理論をつくることができない。そこで本書では積分を微分とは独立した演算として定義し、その後で両者の関連を調べていくとする。 と書いてあって、びっくり。 特に しばしば積分は微分の逆演算として捉えられているが、これは限定的な意味でしか正しくない。 は驚いた。 ポントリャーギンの「やさしい微積分 (ちくま学芸文庫 ホ 13-1 Mat

[hengsu]

一変数の時にだけ、積分と微分が逆演算（ポントリャーギンの伝統的な定義と違う）というのが、現代数学。独立の定義だからなぁ。