ゲーデルの不完全性定理 - Wikipedia

ゲーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、英: Gödel's incompleteness theorems、独: Gödelscher Unvollständigkeitssatz）または不完全性定理とは、数学基礎論[1]とコンピュータ科学（計算機科学）の重要な基本定理[2]。（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、コンピュータ科学と密接に関連している[3]。） 不完全性定理は厳密には「数学」そのものについての定理ではなく、「形式化された数学」についての定理である[4][注 1]。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり[5]、有限の立場（英語版）（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す[3][5]。なお、少し拡張された有限の立場では、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（ゲンツェンの無矛盾性証明（英語版））[3][注 2]。

[peketamin]

“誤解（哲学等による誤解・誤用）” かキモ

[goodstoriez]

“人間の悟性が陥りやすい間違った傾向である。たとえば自分が思いつく有意義そうな体系がどれも不完全であるので「有意義な体系はすべて不完全である」と思い込みさらにその原因を定理か何かに帰着させようとす”

[nonexenon]

群および環の公理は「自然数論を含まず、帰納的公理化可能かつ無矛盾な公理系」で、不完全性定理が適用できない。しかし、例えば可換環と非可換環の存在および健全性定理より不完全性が証明される。

[thc_oO]

不完全性定理

[sessendo]

第1不完全性定理：自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。／第2不完全性定理：自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば、自身の無矛

[nyoron0128]

証明できない命題が存在することが証明されたってこと？？

[castle]

「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系がω無矛盾であれば証明も反証もできない命題が存在する」「自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が無矛盾であれば自身の無矛盾性を証明できない」「Gは証明できない」

[shog0162]

超数学

[pneumaster]

命題G「Gが証明不能である」ときに，Gが証明可能であることは矛盾する：形而上的な議論が必要

[masato611]

自然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。 然数論を含む帰納的に記述できる公理系が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。