2つの平行な超平面間の距離の求め方

面倒なので S := { x | ax = b_1 }, T := { x | ax = b_2 } とおくことにします. a に平行な単位ベクトルを u = a / ||a|| とします. S と T の間の距離が d だとすると, S 上の点 x0 に対し x0 + d u ∈ T です. つまり ax0 = b_1, a(x0 + d u) = b_2 です. よって (a u = ||a||^2 / ||a|| = ||a|| なので) b_2 = ax0 + a d u = b_1 + d ||a|| だから d = (b_2 - b_1) / ||a||. これは「符号の付いた」距離であり, (符号のない) 普通の距離としてはこの絶対値をとった d = |b_2 - b_1| / ||a|| になります. やってることは「点と超平面との距離」と同じですね.