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熱方程式⑥L2ノルムに対する解の安定性 - eのπi乗
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熱方程式⑥L2ノルムに対する解の安定性 - eのπi乗
今日も熱方程式についてです。まさか熱方程式について4回も書くとは思ってもいませんでした。今日はノル... 今日も熱方程式についてです。まさか熱方程式について4回も書くとは思ってもいませんでした。今日はノルムに対しても安定となることを見ていきたいと思います。 ノルムについてはフーリエ級数のところで書きましたのでそちらを参照していただければと思います。 www.ruhamata.work ベクトルの内積を関数にも適用し、それでノルムを定義したものでした。 それでは早速定理に入っていきます。 定理 (1) (2) (3) の解はノルムに関して安定である。 証明 とします。両辺で微分して、 ∴は減少関数 ∴に対し、 ※以上の証明に用いたノルムはすべてノルムです。 以上が熱方程式の最大値の原理から導かれる事実です。熱方程式の理論の中でも最大値の原理は中心となる理論です。これはラプラス方程式にも当てはまります。ラプラス方程式については自分の中で理解が深まってから書いてみたいと思います。