浮動小数点数の丸めの相対誤差を計算機イプシロンで評価する

実数を浮動小数点数に丸めるときに相対誤差がどのくらいになるかを考えます。実数を浮動小数点数に丸める関数をR\colon\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{F}とした時に \left|\frac{R(x)-x}{x}\right| あるいは \left|\frac{R(x)-x}{R(x)}\right| を評価したいです。 ここでは浮動小数点数の基数はb、精度はp桁とし、指数部の範囲は無制限とします。 区間b^i\le \lvert x\rvert\le b^{i+1}での浮動小数点数の刻み幅はb^{i-p+1}となります。この刻み幅をulp (unit in last place) と呼びます。 丸め関数Rは次の性質を満たすべきです： 単調である：x\le yの時、R(x)\le R(y) 元の値との差は1ulp未満である：b^i\le \lvert x\rvert