The Physical Society of Japan 75(4): 210-214 (2020)
210 Vol. 75, No. 4, 2020 ©2020 Atiyah Patodi Singer APS 4 E B APS 4 1 d 2 X n n c x η Y ò + － － － = ・ （ ） E B n Dirac 1 c η Y Dirac APS Dirac APS APS APS 2017 APS APS APS APS 1 2 APS APS Keywords Dirac APS APS Dirac Atiyah Patodi Singer hfukaya 4 het.phys.sci.osaka-u.ac.jp onogi 4 het.phys.sci.osaka-u.ac.jp yamaguch 4 het.phys.sci.osaka-u.phys.ac.jp 211 Atiyah Patodi Singer ©2020 1. Atiyah Patodi
Atiyah–Patodi–Singerの指数定理――素粒子・物性・数学の交叉点
Atiyah–Patodi–Singer（APS）の指数定理は，境界のある多様体上の数学の定理である．こう書くと難しそうで拒否反応を示す読者もいるかもしれないが，もともと指数定理は物理学を起源としていて，実際，電子と電磁場の性質を関係づけるものである．4次元で平坦な時空を考え，電場E，磁場BとしてAPS指数定理を書き下すと， となる．ここで，左辺のn±は電子の満たすDirac方程式でカイラリティ（運動方向に対するスピン演算子）という性質が±1の解の個数を表す．右辺のcは次元だけで決まる定数，第二項はη不変量とよばれ，境界面Yに伝導電子が現れたとき，そのDirac演算子の正の固有値と負の固有値の差を表す量である． したがって，APS定理は電磁場の情報（を時空間で積分したもの）と，電子の全体のDirac方程式の解の個数，および境界上に現れる電子の情報の三つの物理量を結びつけるものである．さらに
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Soft question - Index theory in nonlinear dynamics vs Complex analysis
http://www-het.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~yamaguch/j/pdf/jDirac-index.pdf
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Hirzebruch's motivation of the Todd class
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Supersymmetry, Path Integration, and the Atiyah-Singer Index Theorem
L2-index theorem for manifolds with boundary
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