最大体積と面積となるn次元球 - 完全無欠で荒唐無稽な夢

ｎ次元の単位球の体積は下式となる。この式はwikiにも出ているので、この公式は所与として話を進めます。 π^(n/2) ÷Γ(n/2 +1) Γ：ガンマ関数 球の体積が最大となる整数次元は５です。これは順次、次元数ｎを動かせば出せますね。下表でn=3が我らにお馴染みの３次元球の体積です。 ところが非整数次元を考えると最大の球はｎ＝5.2569464の時になります！ 縦軸が体積、横軸が次元のグラフでみますとピークが５から微妙にズレています。 面積についても類似な計算をしてみません？ まず、公式です。 2 π^(n/2) ÷Γ(n/2) 球の面積が最大となる整数次元は７です。 ところで非整数次元の動きを見るのにグラフ化してみます。縦軸が面積です。 微妙に７からずれているのが分かります。ここでも非整数次元で面積のピークとなるます。 n=7.2569464 小数部は体積の小数部と同じです。 これは