n 次精度 k 階数値微分の導出

Abstract みなさん微分していますか？私はしています。 数値微分は自動微分のテストに使えるし実装が楽で嬉しいです。 なので精度よくやりたくなってきます。 ところで前進差分の打ち切り誤差が有限の幅 \( h \) に対して \( O(h) \) な一方、 中心差分は \( O(h^2) \) であるというのは割と有名ですが、 各 \( n \) に対して \( O(h^n) \) で計算する式が常に存在します。(たぶん) 調べたのですが出てこなかったので導出してみます。 前進差分・中心差分の精度の確認 まずは前進差分と中心差分の精度を確認してみます。 前進差分は以下のような計算で得られます。 \( f \) の \( x \) における \( h \) 差分の前進差分による近似 \( f_{forward}' (x; h) \) は、