音階の数学｜じーくどらむす
私の大好きな数学者の名言で、「音楽は感性の数学であり、数学は理性の音楽である」という言葉があります。 数を原理とするピタゴラス教団がピタゴラス音律を作り出し、そこから純正律という整数比率によるハーモニーを重視した音律が作られたことからも、音楽と数学の関係性は深いと言えるでしょう。 しかし、 実際に数学を多少わかって、音楽を多少嗜んでいる方であれば、音楽で使われる様々な単位への違和感を感じたことがあるのではないでしょうか。 とにかく既存の音楽理論や音楽文化が、「12音種」「7幹音」「5線譜」「1から数える」すべてが噛み合っていない感じがすごい。この噛み合ってない上で究極の覚えゲーを重ねがけして理論作り上げてんのヤバい。 — じーくどらむす/岩本翔 (@geekdrums) July 12, 2020 音楽を取り巻く数への違和感まずこの「12音階」（ド～シまで、＃、♭も含めた1オクターブ以内の
算数が苦手だった。 だった。と書くと、今は得意みたいな感じにみえるが、そんなわけもなく、今も苦手だ。いまだに、掛け算九九があやしい。とくに７の段。 ただしこれは、ぼくに限ったことではないらしい。インターネットを検索すると、同じように７の段が難しいと感じるといった意見が多数みられた。 いったいなぜどうして、７の段は難しいのか、算数が苦手なぼくなりに考えてみた。 数学と算数がどれほど苦手か聞いてほしい なぜ九九が、とくに７の段が難しいのか。 その思いを聞いてもらうために、数学が分かる人、得意な人に集まってもらった。 上側が、算数がやばい感じの人、下側が数学がわかる人となっております デイリーポータルZ編集部の古賀さんと、私ライター西村は、数学というより、算数の時点からやばい感じである。 ライターの三土さんは、プログラミングをするほどなので、数学のことはだいたいわかっている。ただし、無人島に持っ
はじめに このブログに書かれていること 自己紹介 注意 Part3 現代の暗号 共通鍵暗号方式と鍵配送問題 鍵配送問題とは？ 共通鍵暗号方式と公開鍵暗号方式の違いとメリット・デメリット RSA暗号 RSAで使われる鍵 処理手順 暗号化の手順 復号の手順 RSA暗号の数学的背景 一次不定式が自然数解を持つ理由 eとLの関係性 そもそもなぜこの式で元の平文に戻るのか？の数学的根拠 証明パート１ フェルマーの小定理 中国剰余定理 RSA暗号をPythonで 楕円曲線暗号 楕円曲線とは？ 楕円曲線の式 楕円曲線における足し算の定義 楕円曲線における引き算の定義 無限遠点 楕円曲線における分配法則と交換法則 楕円曲線の加法を式で表現 点Pと点Qが異なる場合 点Pと点P 同じ点を足し合わせる場合 有限体 有限体とは？ 有限体上の楕円曲線 楕円曲線暗号における鍵 ECDH鍵共有 数式ベースでの手順説明
互いに素 on Twitter: "この図の秀逸さは何度でも訴えたい、とりあえずトゥイッター民は可視化されたアホに構いすぎ https://t.co/uP9LOleAO1"
この図の秀逸さは何度でも訴えたい、とりあえずトゥイッター民は可視化されたアホに構いすぎ https://t.co/uP9LOleAO1
レッドコーダーが教える、競プロ・AtCoder上達のガイドライン【中級編：目指せ水色コーダー！】 - Qiita
※ ダイクストラ法・ワーシャルフロイド法は最短経路問題を解くアルゴリズムです。 ※ クラスカル法は最小全域木問題を解くアルゴリズムです。 それらのアルゴリズムが学習できる記事たちなどを紹介します。 全探索 全探索には、「全列挙」「ビット全探索」「順列全探索」「再帰関数を用いた全探索」など多くの種類に分かれます。しかし、基本的に以下の記事を読めば全部理解できます。 全列挙 たのしい探索アルゴリズムの世界【前編：全探索、bit全探索から半分全列挙まで】 の 2 章 その他の全探索 たのしい探索アルゴリズムの世界【前編：全探索、bit全探索から半分全列挙まで】 の 3 章 二分探索 アルゴリズムの代表例ともいわれる二分探索は、以下の 2 記事で解説されています。 二分探索とは：アルゴリズムを勉強するなら二分探索から始めよう！ 『なっとく！アルゴリズム』より 競プロで使える二分探索：二分探索アルゴ
スピログラフっぽいものをつくって遊ぶ
1992年三重生まれ、会社員。ゆるくまじめに過ごしています。ものすごく暇なときにへんな曲とへんなゲームを作ります。 前の記事：マスクをもてなす ＞ 個人サイト ほりげー スピログラフについて スピログラフという名前にはあまりなじみがないかもしれないが、写真を見てもらったら伝わると思う。 ダイソーではスピログラフではなく、くるりんデザイン定規と呼ばれている。「絶妙に言い表している感」がよい。 ダイソーではくるりんデザイン定規として売られている。調べてみるとスピログラフはハズブロ社によって商標登録されており、商品名に使えないようだ。なのでこの記事でも「スピログラフっぽいもの」ということにする。 仕組みは簡単だ。穴の内側にギザギザがついており、円盤の外側にもギザギザがついている。そして、円盤の穴にペンをさしこんで穴にそって動かすと、歯車の原理で円盤が穴の内側を回る。これにより、予測できそうででき
アマチュアの方などが、第一級の数学者が長年取り組んでも解決できない問題（フェルマーの大定理*1の初等証明、コラッツ予想、リーマン予想、ふたご素数予想、P=NP問題、etc.）を解いたと主張して論文や本として発表されることは、ありふれたことのように思います。 あなたがプロの数学研究者だとしましょう。 あなたはそれらの原稿を読みますか？ 普通は読まないと思います。なぜなら、 「読まない段階では、その原稿が正しい可能性がある」 ということは、それはそうなのですが、 「その原稿が間違っている可能性の方が圧倒的に大きい」 ということの方が、読むかどうかを検討する側には重大だからです。 定理証明支援系などが更に発展して、近い将来には数学の正しさを効率よく客観的に判定できるようになるかもしれません。 ですが、今のところは、数学の原稿を査読するにはそれなりの時間がかかります。 時間をかけて読んでも間違って
中学生が東工大教授に質問 「たし算とかけ算の決定的な違い」は何なのか？ | Forbes JAPAN 公式サイト（フォーブス ジャパン）
数の世界には「たし算」と「かけ算」があるのはあたり前のことだ。しかし、「このように当たり前で基本的なことが、問題の難しさの根本にある」ことを知っているだろうか。 数学界の重要な未解決問題に「abc予想」がある。「互いに素でありかつ a + b = c を満たすような3つの自然数a、b、c の和と積の関係について」の仮説だ。 数学の世界に混ざり合うように存在しているたし算とかけ算を「分離する」力を備えたこの予想が証明できれば、数々の難問を簡単に解決できてしまうという。そして、世界の多くの数学者が「理解することをあきらめた」ともいわれるこの難解な予想を証明する論文が2021年、受理され、世界に大きな驚きと衝撃を与えた。論文を発表したのは、京都大学数理解析研究所教授の望月新一教授である。 Forbes JAPANでは、数学界の進化を支える根源的な問題ともいえるこの「たし算とかけ算の違い」、そして
望月新一先生の「宇宙際タイヒミュラー理論」に関する論文が、論文誌に採録されることが決まったというニュースが飛び込んできました。 mainichi.jp 論文の原稿は８年も前から発表されており、その内容の壮大さから、数学好きの間で度々話題になっていました。特に、この理論の系として「ABC予想」と呼ばれる未解決問題が導かれるということが、数学好きとは限らない数多くの人の興味を引きました。 論文の主張が正しいかどうかは、結果的には論文を読んで自分で確かめる他ありません。 （論文誌に掲載されたということは、関連分野の専門家に査読されたということを意味しますが、これは主張の正しさが証明されたことを意味しないからです。） しかしながら、一数学ファンとしては、論文誌に掲載されるというニュースを聞いて、純粋に嬉しい気持ちになりました。 一つの節目として、せっかくなので、自分の中の理解の確認のためにも、AB
本日は 2/23 ということで、この日付にまつわる楽しい数学の話をしたいと思います！ お話したいのは、23 という数そのものが持つ性質についてです。 は素数なので、素数についての話かと思った方もいるかもしれません。 もちろん、素数であることは大事なのですが、それだけではありません。 は次のような特徴を持つ素晴らしい数でもあるのです。 を3以上の素数としたとき、 次円分体 の 類数 が より大きくなる最小の は である 整数論を学んだ人にとっては、円分体や類数の意味が理解でき、 そこから23の性質に感動を覚える人も少なくないかと思います。 一方で、円分体や類数をまったく知らない人にとっては、上の説明だけでは何のことかわかりませんよね。私自身、何度か一般向けの講演で上の事実を紹介したことがあるのですが、難しくて理解できなかったという方も多いのではないかと思います。 そんな方でも、今回こそは23
2018年9月20日、Quanta Magazine "Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture" の翻訳
tar0log.tumblr.com tar0.tumblr.com | taro.haun.org | @tar0zzz | @4bungi | @4bungi | suzuri Tags: abc, eht, life, mini, prfm, photo, ringo, sci, writing Feb 21, 2023: My blog has moved to 4bungi.jp/blog/. I will keep this tumblr so the links will not be broken, but I am also copying the articles I have posted here to 4bungi.jp. Life is like riding a bicycle. To keep your balance you must keep movin
3月に人気だった記事を書いたライターへのインタビュー。 今回は「算数が苦手なやつが考えた７の段が難しい理由を詳しい人に聞いてもらう」が好評だった西村まさゆきさんに話を聞きました。 インタビュアーは同じく九九が苦手な編集部の古賀です。 恨みつらみをぶつけました 古賀： なぜ七の段はむつかしいのか、その答えが明らかになったのがすごかったですね！ これ、大人がわからなさを精密に訴えるのが記事としてのおもしろさを支えていましたよね。西村さんのパワポ芸がさく裂するという。 入魂のパワポで七の段のむつかしさを数学に詳しい識者にぶつけた 西村： ほんと、マジわかんないから、その恨みつらみをぶつけました。 わからないことを、なぜわからないのか考えるのは、それはそれでおもしろいなっておもったんですよ。 古賀： 「なぜわからないのか」ってすごくおもしろいですね。あれは鉱脈だなと思いました。 わからないことを「
フロベニウスの硬貨交換問題 - Wikipedia
原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳があることが判明しています。情報の利用には注意してください。正確な表現に改訳できる方を求めています。（2019年1月） 2ペンスと5ペンスのコインだけでは、3ペンスを作ることはできないが、4ペンス以上は全て作ることができる。 フロベニウスの硬貨交換問題（フロベニウスのこうかこうかんもんだい）とは、指定された種類の硬貨だけではぴったり払えない最大の金額を求める数学の問題である[1]。フロベニウスの問題、シルベスターの切手問題とも呼ばれる。数学者フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスに因んで名付けられた。例えば、3円と5円の硬貨だけでは作れない最大の金額は7円である。コインの種類の組み合わせに対するこの問題の解はフロベニウス数と呼ばれる。フロベニウス数が存在するのは、硬貨の額面が互いに素のときに限られる。 硬貨が a円と
エルキースによるオイラー予想の反例：2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4 - tsujimotterのノートブック
こちらの記事は今日投稿された下記の動画に関して、さらに深い解説をする記事となっています。www.youtube.com よろしければ、こちらの動画も合わせてご覧ください！ フェルマーの最終定理の のケース に自然数解が存在しないことは、オイラーによって証明されていました。 オイラー自身は、この式の指数と変数の個数を1個ずつ増やした にも、同様に解がないことを予想しました（1769年）。以降もずっと指数と変数を増やして行っても同様に解がないと予想していたようです。割と自然な発想ですよね。 一見すると式 には自然数解がなさそうなので、長い間解がないと信じられていました。 ところが、1966年にレオン・J・ランダーとトーマス・R・パーキンによって、式 の解が発見されたのです： この発見によってオイラー予想は間違っていることが示されたわけです。 次がそのランダーとパーキンの論文なのですが、1ページ
【デレステ】特技秒数についての基礎知識【編成強者への道】 - Starlight Tips
THE IDOLM@STER CINDERELLA MASTER パジャマジャマ & この恋の解を答えなさい アーティスト:V.A. 日本コロムビア Amazon (2023/03/24更新 更新履歴は記事末尾に記載) LIVE中に発動する「特技」について、スコアを伸ばす上で最低限把握しておきたい秒数に関する知識を紹介します。 センター効果についてはこちら。 強い編成の具体例については本記事でもある程度紹介していますが、より最新のものを追いたい場合はこちらの記事が参考になります。 なお、本記事で扱うのはあくまで「秒数」についての基礎知識であり、特技の効果についてはそこまで詳しく解説しないので、それについて知りたい方はwikiの「特技について」のページが参考になるかと思います。 また、具体的にどのアイドル（カード）が当該の特技を持っているのか、といった情報に関してはこちらの記事に一覧表形式で
ドラマ総集編のようなすばらしい現代数論の入門書 - hiroyukikojima’s blog
今回エントリーするのは、山本芳彦『数論入門』岩波書店だ。この本は以前にも、このエントリーで紹介しているが、今回は違う観点から推薦したいと思う。 数論入門 (現代数学への入門) 作者:山本 芳彦 岩波書店 Amazon ゆえあって、最近またこの本を読み始めたのだが、面白くて遂にほぼ全部読んでもうた。そして全体を読破すると、この本がもくろんでいること、この本の特質がひしひしつと伝わってきた。ひとくちに言えば、この本は、「ドラマの優れた総集編を観るようなすばらしい内容」ということなのだ。 ドラマの総集編って、全12話を4話ぐらいでかいつまむ。もちろん、圧縮しているので、カットされたエピソードもあるし、ナレーションで進めちゃう場面もあるし、スルーされるキャラもある。でも、優れた総集編では、本編より本質が浮き彫りになり、面白さが倍増になることも多い。この本は、数論の総集編として、そのメリットがみごと
国名がつく数学用語っていくつかあって、「日本の定理」とか「ポーランド空間」とかあって面白いんですが、なかでも中国剰余定理というのは特に有名です。 で、こいつが数論ではまぁ〜非常によく登場する重要な定理なんですね。 そのステートメントは例えばwikipediaにはこんなふうに書かれています。 与えられた k 個の整数 がどの二つも互いに素ならば、任意に与えられる整数 に対し … を満たす整数がを法として一意的に存在する。 はい。うん。ね。いやもちろんこれで分かる人にはいいんですが。 中国剰余定理の拡張や応用には色々と面白い話題があって、ググったりなんかすると百花繚乱といろんな話題が出てきます。しかし、この定理を「まず理解する」というだけでもつまづいてる人というのはいるのであって、この記事はそんな人のための記事です。 まあだいたいアジマティクスっていつもそんな感じです。これ↓とか。 www.a
算数の学習プリントをExcelのランダム関数で作ると問題と答えが保存されない問題 - わえなび ワード＆エクセル問題集 waenavi
小学校の算数で最も基本的な勉強は、同じ計算を繰り返して身体で覚える計算ドリルです。計算のプリント「だけ」をやっても論理的思考力が身につかないことは言うまでもありませんが、基礎的な計算ができない人に論理的思考ができるわけがないのです。現在では百マス計算や公文式のように、数字を変えて反復練習をする勉強方法が有効であることが知られています。 ところで、Excel2007以降では「RANDBETWEEN」という関数が標準で使えるようになりました。ネット上でもこの関数を使って計算ドリルを作る方法が多数紹介されています。しかし、ランダム出題には1つだけ問題があります。それは、問題と答えが保存できないということです。コロコロと問題が変わってしまうので、後で答え合わせをしようとしてもその問題がExcelに保存されていないのです。 そこで、小学生の敵（？）であるRAND関数・RANDBETWEEN関数を用い
2019年11月27日18:00 数学の未解決問題で打線組んだ Tweet 1: 名無しさん＠おーぷん 19/11/27(水)14:58:03 ID:RIj 1(二)ゴールドバッハ予想 2(中)双子素数の無限存在性 3(遊)P≠NP予想 4(一)リーマン予想 5(三)ABC予想 6(右)π+eが超越数か等 7(左)ソファ問題 8(捕)ルジャンドル予想 9(投)ナビエ・ストークス方程式の解の存在 数学SUGEEEEEEEEってなる話聞かせて http://blog.livedoor.jp/nwknews/archives/4249561.html 数学大好きな俺に数学のＳＵＧＥＥＥＥってなる事教えてくれ+雑学 http://blog.livedoor.jp/nwknews/archives/4057285.html 物理・数学で面白い雑学教えて http://blog.livedoor.jp
007巻き方小津安二郎小説小野繙山ゴハン山梨ソロキャンプアワード山田勇魚川奈まり子工芸作家市川海老蔵対策幌倉さと平塚年齢制限店舗庭ゴハン廃番弥富マハ彫刻家彫金小林圭輔対処法御徒町奇才紳士名鑑増税変え方多崎ろぜ大園恵実大庭繭大手失われた青を求めて失敗女性向け寄木女流雀士女郎蜘蛛姉の結婚安い安さ実話怪談宮台真司家庭家族影響徹底坂上秋成旅行/レジャー故障教えて！「聖蘭（せいら）20歳」さん斜線堂有紀新作新幹線方山敏彦方法旅行星をみるひと改善映画時間暇つぶし書評最新月曜日のたわわ有楽町有限会社ファクタスデザイン朝藤りむ改正採用怖い話手塚大輔怪談怪談一服の集い恋は光成人成年年齢引き下げ成長戦野の一服手作り手巻きたばこ掌編小説手巻きタバコ手書き地図手順投稿怪談投資持ち方持ち込み捨て方掃除境貴雄地図木原直哉体験記付け方会津木綿伝説の92住宅ローン佐々木 怜央佐々木亮介佐々木愛実佐藤タイジ作家今日のほごに
ユークリッドのリズム覚え書き - Fantasy Sound
ユークリッドのリズムという音楽理論について論文を読んだのでここにその内容をメモしておきます。 はじめに ユークリッドのリズム（Euclidean Rhythm）はコンピュータサイエンティストのGodfried Toussaint氏が提唱したリズム理論です。この理論によると、民族音楽などで聞かれる複雑なリズムパターンのほぼすべてを簡潔な数学的方法で記述できるとのこと。なかなか面白そうですね。 DTMの分野ではこの理論に基づいたリズムジェネレーターなどもすでに作られており1)Reason用のEuclidean Rhythmsというシーケンサーや、HornetのHATEFISh RhyGeneratorなど。、ギークな界隈では比較的よく知られている話のようです。 理論の概要は論文（pdf）で公開されています。本項はそこからオイシイと思われる情報をまとめたものです。 なお上論文は前知識なしでも読め
3つの要点 ✔️ 問題を単純で、変数の少ないものに変換する事を繰り返して解く ✔️ ニューラルネットワークによって関数同定問題を改善 ✔️ 既存のソフトウェアを上回る予測精度を達成 AI Feynman: a Physics-Inspired Method for Symbolic Regression written by Silviu-Marian Udrescu (MIT), Max Tegmark (MIT) (Submitted on 27 May 2019 (v1), last revised 15 Apr 2020 (this version, v2)) Comments: Published on arxiv. Subjects: Computational Physics (physics.comp-ph); Artificial Intelligence (cs.AI)
数学好きのための音楽理論入門！！
数学好きのための音楽理論入門！！音楽は数学だ！？ お久しぶりです！ 練乳愛飲家 兼 セカンドスリーパーの みゆ🌹ฅ^•ω•^ฅ でございます。 今回のテーマは「音楽の世界にひそむ数学」。数学がお好きな方は音楽もお好き(!?)というウワサを風の便りで耳にしたのですが、確かに音楽理論のコアな部分ってだいぶ数学よりなんですよね。理系っぽくいうなら、 『音楽つまり音というのは空気振動を人間の耳が感知した結果認識されるものであり、究極的には物理学や生理学などの理系学問で説明がつくはずである。従ってそこに数学が用いられるのはむしろ必然といえる。』 $\cdots$かな？ 本記事は数学よりな理系クラスタさんの知的好奇心を満たすことに主眼をおいています。音楽のことはよくわからんけど数学が絡むお話には興味あるぞっていうリケメン＆リケジョさんもたくさんおられることでしょうから、実践的なことよりも数学アプロー
今日は久しぶりに数学の話題を。 もりしーさん（ @9973_prm ）の以下のツイートの話が面白かったので、今日はこの問題について考えてみたいと思います。 立方数と立方数の差って大体素数じゃん、って思ったけど5^3と6^3の差がまさかの91でわろた— もりしー@素数大富豪 (@9973_prm) 2021年8月24日 なお、もりしーさんは次のようにもツイートしています： 隣合う立方数の差— もりしー@素数大富豪 (@9973_prm) 2021年8月24日 つまり、もりしーさんが考えていたのは 「隣り合う立方数（３乗数のこと）の差は素数になるだろうか？」 という問題ですね。 たとえば、最初の４つのケースを考えると （素数）（素数）（素数）（素数） となって、かなり素数が続いています！ 面白いです！ もちろん、もりしーさんがツイートしているように、すべての隣り合う立方数の差が素数になるわけで
【座談会】日常のゆくえ──京アニ事件から『ぼっち・ざ・ろっく！』まで｜舞風つむじ × noirse × てらまっと | 週末批評
※本記事は、『Blue Lose Vol.3 特集：10年代』（早稲田大学負けヒロイン研究会、2023）所収の「日常系座談会──フィクションをめぐる状況」を加筆・修正のうえ、転載したものです。なお、取り上げられている各作品の結末についての情報が含まれることがあります。 話：舞風つむじ × noirse × てらまっと 構成：舞風つむじ（早稲田大学負けヒロイン研究会） 舞風つむじ この座談会では、2010年代半ば以降の「日常系アニメ」について考えていきたいと思います。また議論にあたっては、2014年に開催されたシンポジウムの発表原稿を編んだアンソロジー『日常系アニメのソフト・コア』1が叩き台になると思い、同論集の寄稿者であるnoirseさんとてらまっとさんをお呼びしました。 セカンドアフター公式ブログ PDFペーパー『日常系アニメのソフト・コア』目次 – セカンドアフター公式ブログ セカンド
JWT ハンドブック 著者: Sebastian Peyrott JWT ハンドブック Sebastián E. Peyrott、Auth0 Inc. バージョン 0.14.1、2016〜2018 1 ⽬次 ⽬次........................................................................................................................................................................................ 1 謝辞.........................................................................................................
競技プログラミングでの使われ方の例 たとえば$10^9$以下の最大の高度合成数は$735134400$であり、その約数の個数は$1344$個です。 よって、$N$の約数の個数の$2$乗オーダーで解けるような問題は、$N \le 10^9$の制約のもとで$2$秒以内に計算が収まる可能性が高いです。 解きたい問題 $N$ 以下の高度合成数をすべて列挙せよ。ただし$N \le 10^{100}.$ #ナイーブなアルゴリズム $N$ 以下の全ての自然数の約数の個数を求めれば、高度合成数を列挙することができます。$\tau(1),\tau(2),\tau(3),\dots$ と順番に約数の個数を計算すると大変ですが、「各$i$について、$n$が$i$の倍数ならnumber_of_div[n] += 1」とすると調和級数により$O(N \log N)$ で計算できます。 このアルゴリズムではすべての
恵方巻といえば、節分の日に決まった方角（恵方）を向いて無言で食べると良いとされる巻き寿司のことです。 恵方は毎年変わり、以下のようにして決まるそうです： 西暦年の1の位 恵方 24方位 方位角*1 16方位 東基準反時計周り 4・9 甲 075° 東北東やや東 015° 0・5 庚 255° 西南西やや西 195° 1・6 3・8 丙 165° 南南東やや南 285° 2・7 壬 345° 北北西やや北 105° （歳徳神 - Wikipediaより一部引用） 例えば2021年の恵方は「南南東やや南」ですね。 16方位だと「南寄りの南東のやや南（7.5°）」と聞こえてややこしいので、個人的には「南むいて15°左に回転」が分かりやすいと思います（他の恵方も同様）。 それはさておき、今年の恵方を計算で求められたら便利ですよね。毎年毎年「恵方 方角」で検索せずに済みますし。 ということで今回は、
ニューラルネットワークって何かな〜って調べていたら普遍性定理(universal approximation theorem)という面白そうなものを見つけたのでCybenkoさんの有名な論文で証明を追ってみました。日本語でこの定理の証明まで書いてくれているところはざっと見た感じ無かったのでTeX打ちの練習も兼ねてQiitaに纏めてみようってことでこの記事を書きました。この記事ではCybenkoさんの論文を少し一般化した普遍性定理を述べます。証明はほとんどCybenkoさんによる証明に基づいています(一部修正しているくらい)。 この記事の目的は皆さんに普遍性定理の内容と証明を伝えることなのですが、証明に使う数学はそれなりに高級で誰でも読めるように書くのは難しかったので、以下に挙げる3つの分野すべてに少しでも触れたことがある人を読者として想定しています。 位相空間論 測度論・積分論 関数解析学
日曜数学 Advent Calendar 2020 の1日目の記事です。 「類体論」という名前を聞いたことがあるでしょうか？ 類体論は、高木貞治という日本の数学者が提唱した理論です。実は今年2020年は類体論が提唱されてからちょうど 100周年 だそうです。 『類体論における主要な定理の一つ「高木の存在定理」が発表されたのが1920年の国際数学者会議なのだそうです。 』 と書いていたのですが、同1920年には類体論に関してまとめた論文を、東京大学の理学部紀要にて発表しているそうです。（せきゅーんさんよりご指摘いただきました。） 後者の論文から100周年というのがより適切かもしれません。 整数論に興味がある方は、名前を聞いたことあるかもしれません。一方で、その主張について知っている人はあまり多くないのではと思います。かくいう私も、これまで類体論について勉強を続けてきましたが、いつまでたっても
未解明だった数学の超難問「ABC予想」を証明したとする望月新一・京都大数理解析研究所教授（51）の論文が、同所が編集する数学専門誌に掲載されることが決まった。3日、京大が発表した。ABC予想は、素因数分解と足し算・かけ算との関係性を示す命題のこと。4編計646ページからなる論文は、斬新さと難解さから査読（論文の内容チェック）に8年かかったが、その正しさが認められることになった。有名な数学の難問「フェルマーの最終定理」（1995年解決）や「ポアンカレ予想」（2006年解決）の証明などと並ぶ快挙となる。【阿部周一、松本光樹】 望月教授は2012年8月、構想から10年以上かけた「宇宙際タイヒミューラー（IUT）理論」の論文4編を、インターネット上で公開した。これを用いればABC予想など複数の難問が証明できると主張し、大きな注目を集めたが、既存の数学が存立する枠組み（宇宙）を複数考えるという構想は
要約 ロリハ(RollingHash)のModを$2^{61}-1$にすると安全で爆速になってむちゃくちゃ幸せになれます。 前提知識 bit演算に関する基礎的な知識を要求します。 また、RollingHashについては以下で解説しますが、分からない場合は別の記事を読んだほうがいいかもしれません。 RollingHashとは? 開く 「文字列を一つの大きな整数として見る」というのがRollingHashのアイデアです。 まず、0-9のみの数字を含んだ文字列s = "1234567890"を考えてみます。 ここで、この文字列のHash値を文字列を10進数と解釈したときの数値と定義します。 また、$s$の$a$文字目から$b$文字目の前までの部分文字列を$s[a..b]$と書くことにします。 例えば、s = "1234567890"について、$s[1..3]$は1文字目から3文字目の前までの部分
ACL (AtCoder Library) の内部実装を知りたい人向けの記事です。 お友だちに「ねーね、ACL のこの関数ってどういう仕組みなの？ 知ってたりしない？」と聞かれたとき、「え... なんかほら、わかんないけど、魔法で動くからいいんだよ」としか言えないと情けない気がしません？ しました。なので書きます。 こういうシチュエーションはなくても、何かを実装したいときに「あ、これ ACL の実装のやつと同じ発想じゃん」となることはありえるので、知っていて損はないかなと思います。 めちゃくちゃ長くなったので、一度に全部読むのには適さないかもしれません。 数式部分の LaTeX コードなども含めて数えられていますが、26000 文字を超えています。 全体像 個別の説明 internal::safe_mod internal::barrett Barrett reduction の話 正当性
数学の難問「ABC予想」を証明したとする日本の数学者の新たな理論をめぐって、研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました。 「ABC予想」は、世界の数学者が証明を試みてきた難問で、2年前、京都大学数理解析研究所の望月新一教授が、自身が構築した新たな理論を使って「ABC予想」の証明を行い、専門誌に論文が掲載されました。 しかし、前提となる概念から独自に作り出されているため、望月教授の証明が理解できないとする数学者もおり、研究者の間で混乱する異例の事態となっています。 研究を発展させて事態の解決につなげようと、動画サイトを運営するIT企業の創業者などが、この理論に関する研究成果に賞金を贈呈する賞を創設することになり、7日に都内で会見を開いて発表しました。 具体的には、 ▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ド
PythonでのUnion Findデータ構造（素集合データ構造）の実装とその使い方を説明する。 まずはじめに最終形のクラスとその使い方のサンプルコードを示し、後半で素朴な実装からいくつかの工夫を加えて最終形に至るまでを説明する。 Union Find（素集合データ構造）の概要 PythonでのUnion Findの実装例 サンプルコードのクラスの使い方 文字列やタプルなどを要素とする場合 素朴な実装 実装の効率化 経路圧縮（Path Compression） ランク（Union by Rank） サイズ（Union by Size） 根の値にサイズ、ランクを格納 AtCoderおよびAOJのUnion Findに関する問題の解答コードを参考にした。 AtCoder Typical Contest 001 B - Union Find 互いに素な集合 Union Find| データ構造ライ
今日は のような 「素数のべき乗分の１」の形の循環小数 について考えたいと思います。 実際、上記の小数を計算してみると となり、 は 42桁、 は 294桁 と、たいへん長い循環節を持つことがわかります。これは後で見るように周囲の循環小数と比べてもかなり長いものとなっています。 この現象の裏には一体どのようなメカニズムが隠されているのでしょうか。 理屈を紐解いてみると、そこには の循環節が ダイヤル数 になることが関係していることに気づきました。 とても面白い（きっと他では知られていない）定理を証明することができましたので、よろしければご覧になってください！ 注：今回の記事はtsujimotter自身による独自研究をまとめたものです。内容の信ぴょう性についてはご自身でお確かめください。 1. 目次 目次： 1. 目次 2. きっかけ 3. 実験と本日の主定理 4. 循環小数のおさらい 5.
この連載では、中学や高校で学んだ数学を題材にして、Pythonによるプログラミングを学びます。といっても、数学の教科書に載っている定理や公式だけに限らず、興味深い数式の例やAI／機械学習の基本となる例を取り上げながら、数学的な考え方を背景としてプログラミングを学ぶお話にしていこうと思います。 目標： フェルマーの小定理をプログラミングしてみる 数学が苦手な人でも「素数」については聞き覚えがあると思います。素数とは1より大きく、1と自分自身しか約数を持たない数のことでしたね。つまり、2,3,5,7,11,13……が素数です。素数は中学の初歩的な数学から登場し、素因数分解やそれを利用した約分など、数式を取り扱う上での基本の基本となっています。 もちろん、それだけではありません。例えば、公開鍵方式と呼ばれる暗号化の方法（RSA暗号）などにも広く応用される実用的な「数」でもあります。一方で、無限に
世界的名著『アルゴリズムイントロダクション』第4版の翻訳第2巻！『世界標準MIT教科書 アルゴリズムイントロダクション第4版 第2巻 高度な設計と解析の手法・高度なデータ構造・グラフアルゴリズム』発行
世界的名著『アルゴリズムイントロダクション』第4版の翻訳第2巻！『世界標準MIT教科書 アルゴリズムイントロダクション第4版 第2巻 高度な設計と解析の手法・高度なデータ構造・グラフアルゴリズム』発行 インプレスグループで理工学分野の専門書出版事業を手掛ける株式会社近代科学社は、2024年2月29日に、『世界標準MIT教科書 アルゴリズムイントロダクション第4版 第2巻−高度な設計と解析の手法・高度なデータ構造・グラフアルゴリズム−』（訳：浅野 哲夫・岩野 和生・梅尾 博司・小山 透・山下 雅史・和田 幸一）を発行いたします。 ●書誌情報 【原著】Introduction to Algorithms, Fourth Edition 【著者】Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest and Clifford Stein
動かして学ぶ量子コンピュータプログラミング
独自のシミュレータQCEngineを使ってJavaScriptで書かれたサンプルプログラムをブラウザ上で動かし、量子コンピュータでのプログラミングに必要な知識やスキルを学ぶことができます。量子コンピューティングの基礎とその可能性に関する直感的理解が容易になるよう、豊富な例と図を用いて説明します。前半では、単一キュビットに対する基本的な量子演算、多重キュビット演算、複合演算（量子プリミティブ）、基本的な量子アプリケーション、後半では、探索問題、画像処理、暗号問題、機械学習への応用について解説しており、本書だけで基礎から実践的な応用技術までを一気に習得できます。これから学習を始める技術者、研究者を中心に、新しい研究分野やビジネスで量子コンピュータを利用したいと考える方がプログラミングの「感覚」を養うのに役立つ、ユニークなガイドブックです。 まえがき 1章 はじめに 1.1 基礎知識 1.2 Q
Haskell で、優先度付きキューを使ったダイクストラ法 でダイクストラ法を実装したので、続けて最少全域木問題に取り組んでみようと思います。 最少全域木問題といえばクラスカルのアルゴリズムです。以下に詳しい解説があります。 最小全域木（クラスカル法とUnionFind） - アルゴリズム講習会 そして、確かずいぶん前に一度実装したような記憶が朧気ながらあって、検索してみたところ過去に自分が書いたブログがヒットしその日付は2009年でした。内容については全く覚えていませんでした。 クラスカルのアルゴリズム 気をとりなおしてクラスカルのアルゴリズムですが、このアルゴリズムは直感的には割と簡単というのが面白いところです。 グラフの辺の中から、重みが小さい順に辺を選んでいく。このとき選んだ辺によりグラフに閉路ができるならそれは選ばない。これだけで、最少全域木が構成される。 直感的には簡単ですが、
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